Calcule a integral.
k)
k)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: a função a integrar é
e queremos uma primitiva (ou seja, a antiderivada) em função de
, mais a constante de integração.
Passo 2
Fato importante que vamos usar: a derivada da função tangente é a secante ao quadrado. Ou seja,
Pequena demonstração desse fato (para fixar):
. Usando a regra do quociente,
Passo 3
Observação sobre a regra da cadeia: se
, então pela regra da cadeia
Isto mostra que
é (salvo um factor constante) a derivada de
. Logo a primitiva de
terá um fator
na frente de
. Vamos fazer isso de forma sistemática com substituição.
Passo 4
Faça a substituição
. Então
A integral transforma-se em
Passo 5
Agora usamos que
. Assim
Voltando à variável original
,
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (checar na prova é uma boa prática): calcule
ou seja, a primitiva encontrada está correta.