Calcule a integral.
k)
\int \operatorname{sec} ^{2} 2 \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sec}^{2} 2\theta \, d\theta.
Informações dadas: a função a integrar é \operatorname{sec}^{2}2\theta e queremos uma primitiva (ou seja, a antiderivada) em função de \theta, mais a constante de integração.

Passo 2

Fato importante que vamos usar: a derivada da função tangente é a secante ao quadrado. Ou seja,
\frac{d}{dx}\big(\tan x\big)=\operatorname{sec}^{2}x.
Pequena demonstração desse fato (para fixar): \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Usando a regra do quociente,
\frac{d}{dx}\tan x=\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x} =\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 3

Observação sobre a regra da cadeia: se \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x, então pela regra da cadeia
\frac{d}{d\theta}\big(\tan(2\theta)\big)=2\operatorname{sec}^{2}(2\theta).
Isto mostra que \operatorname{sec}^{2}(2\theta) é (salvo um factor constante) a derivada de \tan(2\theta). Logo a primitiva de \operatorname{sec}^{2}(2\theta) terá um fator \tfrac{1}{2} na frente de \tan(2\theta). Vamos fazer isso de forma sistemática com substituição.

Passo 4

Faça a substituição u=2\theta. Então
du=2\,d\theta \quad\Rightarrow\quad d\theta=\frac{du}{2}.
A integral transforma-se em
\int \operatorname{sec}^{2}(2\theta)\,d\theta = \int \operatorname{sec}^{2}u\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \operatorname{sec}^{2}u\,du.

Passo 5

Agora usamos que \int \operatorname{sec}^{2}u\,du=\tan u + C. Assim
\frac{1}{2}\int \operatorname{sec}^{2}u\,du = \frac{1}{2}\tan u + C.
Voltando à variável original u=2\theta,
\int \operatorname{sec}^{2}2\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\tan(2\theta) + C.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (checar na prova é uma boa prática): calcule
\frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{2}\tan(2\theta)\right)=\frac{1}{2}\cdot 2\operatorname{sec}^{2}(2\theta)=\operatorname{sec}^{2}(2\theta),
ou seja, a primitiva encontrada está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\tan(2\theta)+C

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