Exercício 6 Calcule as seguintes integrais:
(b) integral-1^1 gamma(t) d t, sendo .

Passo 1

Resumo do enunciado: vamos calcular a integral vetorial
integral-1^1gamma(t),dt, onde gamma(t)=(sin(3t),,tfrac11+t^2,,1). O conteúdo aqui é integração componente a componente de um vetor.

Passo 2

Cálculo da primeira componente: integramos sin(3t). A primitiva é
integral sin(3t),dt = -tfrac13cos(3t)
Avaliando de -1 a 1 obtemos
-tfrac13cos(3t)|-1^1 = -tfrac13l(cos(3)-cos(-3)r) = 0
pela paridade da função.

Passo 3

Cálculo da segunda componente: integramos tfrac11+t^2. A primitiva é arctan(t), logo
integral-1^111+t^2,dt = arctan(t)|-1^1 = pi4-l(-pi4r) = pi2

Passo 4

Cálculo da terceira componente: integramos 1. A primitiva é t, então
integral-1^11,dt = t|-1^1 = 1 - (-1) = 2

Resposta

(0,,\tfrac{\pi}{2},,2)

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