Calcule a integral de linha
em que
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha que é
. A matéria aqui envolve cálculo integral, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva
e usar a fórmula da integral de linha que envolve o elemento de arco
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva. A curva
é dada por
e
. Isso significa que, ao variar
, conseguimos os valores de
e
ao longo da curva.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o elemento de arco
. A fórmula para
em termos de
é:
Vamos derivar
e
em relação a
:
Substituindo na fórmula do
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na função da integral:
Vamos expandir
:
Então:
Passo 5
Agora, montamos a integral em termos de
:
Aqui, precisamos determinar os limites de integração
e
. Observando a parametrização, se não for especificado, geralmente consideramos
indo de 0 a 1.
Passo 6
Então, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Avaliaremos nos limites de 0 a 1:
Simplificando:
Resposta
A integral de linha é
.