Calcule a integral de linha
integralC(1+x y^2) d s
em que C(t)=t imath+(t-1) jmath

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que é integralC(1+x y^2) d s. A matéria aqui envolve cálculo integral, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva C(t) = t imath + (t-1) jmath e usar a fórmula da integral de linha que envolve o elemento de arco ds.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva. A curva C(t) é dada por x(t) = t e y(t) = t - 1. Isso significa que, ao variar t, conseguimos os valores de x e y ao longo da curva.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o elemento de arco ds. A fórmula para ds em termos de t é:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 dt
Vamos derivar x(t) e y(t) em relação a t:
dxdt = 1 e dydt = 1
Substituindo na fórmula do ds:
ds = raiz1^2 + 1^2 dt = raiz2 dt

Passo 4

Agora, substituímos x(t) e y(t) na função da integral:
1 + x y^2 = 1 + t (t - 1)^2
Vamos expandir (t - 1)^2 :
(t - 1)^2 = t^2 - 2t + 1
Então:
1 + t(t^2 - 2t + 1) = 1 + t^3 - 2t^2 + t = t^3 - 2t^2 + t + 1

Passo 5

Agora, montamos a integral em termos de t:
integralC(1+x y^2) d s = integrala^b (t^3 - 2t^2 + t + 1) raiz2 dt
Aqui, precisamos determinar os limites de integração a e b. Observando a parametrização, se não for especificado, geralmente consideramos t indo de 0 a 1.

Passo 6

Então, a integral fica:
raiz2 integral0^1 (t^3 - 2t^2 + t + 1) dt
Vamos integrar termo a termo:
raiz2 [ t^44 - 2t^33 + t^22 + t ]0^1

Passo 7

Avaliaremos nos limites de 0 a 1:
raiz2 ( 14 - 23 + 12 + 1 ) = raiz2 ( 14 - 812 + 612 + 1212 )
Simplificando:
raiz2 ( 14 + 1012 ) = raiz2 ( 14 + 56 ) = raiz2 ( 312 + 1012 ) = raiz2 ( 1312 )

Resposta

A integral de linha é 13raiz212.

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