- Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
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Passo 1
O enunciado pede a representação de
como série de potências e o raio de convergência.
Conteúdo necessário: série geométrica e expansão binomial para expoentes negativos.
Conteúdo necessário: série geométrica e expansão binomial para expoentes negativos.
Passo 2
Escrevemos
Para expandir
, basta usar a fórmula da série binomial generalizada.
Passo 3
Lembrando que para
vale
que pode ser obtida diferenciando a série geométrica
.
Passo 4
Aqui tomamos
. Logo, para
,
Passo 5
Multiplicando por
, obtemos
Passo 6
Podemos simplificar o coeficiente
. Assim
Passo 7
Para o raio de convergência, usamos a condição
, isto é
Resposta
A expansão em série de potências é
e o raio de convergência é
.