1. Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
  2. f(x)=8 x(1+4 x^2)^2

Passo 1

O enunciado pede a representação de
f(x)=8x(1+4x^2)^2
como série de potências e o raio de convergência.
Conteúdo necessário: série geométrica e expansão binomial para expoentes negativos.

Passo 2

Escrevemos
f(x)=8x,(1+4x^2)^-2
Para expandir (1+4x^2)^-2, basta usar a fórmula da série binomial generalizada.

Passo 3

Lembrando que para |u|<1 vale
(1+u)^-2=sumn=0^infty(-1)^n(n+1),u^n,
que pode ser obtida diferenciando a série geométrica sumn=0^infty(-u)^n.

Passo 4

Aqui tomamos u=4x^2. Logo, para |4x^2|<1,
(1+4x^2)^-2 =sumn=0^infty(-1)^n(n+1),(4x^2)^n =sumn=0^infty(-1)^n(n+1),4^n,x^2n

Passo 5

Multiplicando por 8x, obtemos
f(x)=8xsumn=0^infty(-1)^n(n+1),4^n,x^2n =sumn=0^infty(-1)^n(n+1),8cdot4^n,x^2n+1

Passo 6

Podemos simplificar o coeficiente 8cdot4^n=2^3cdot2^2n=2^2n+3. Assim
f(x) =sumn=0^infty(-1)^n(n+1),2^2n+3,x^2n+1

Passo 7

Para o raio de convergência, usamos a condição |4x^2|<1, isto é
|x|<12

Resposta

A expansão em série de potências é
boxedf(x)=sumn=0^infty(-1)^n(n+1),2^2n+3,x^2n+1,
e o raio de convergência é tfrac12.

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