Defina o conceito de integral de linha de um campo vetorial
, ao longo de uma curva diferenciável
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para definir o conceito de integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva diferenciável
. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos como campos vetoriais, curvas diferenciáveis, parametrização de curvas e o produto escalar. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é um campo vetorial. Um campo vetorial
em
associa a cada ponto
do plano um vetor
. É como se em cada ponto do espaço tivesse uma seta que aponta em alguma direção com certo tamanho.
Passo 3
Agora, a curva diferenciável
é basicamente uma trajetória suave no plano, sem “quebras” ou “cantinhos”. Matemáticamente, dizemos que existe uma função
que é derivável, ou seja, temos as derivadas
e
contínuas.
Passo 4
Para calcular a integral de linha, precisamos parametrizar a curva
. Isso significa expressar as coordenadas
e
em termos de uma variável
, que varia em um intervalo
. Então, temos
para
.
Passo 5
O próximo passo é calcular o vetor tangente à curva, que é dado pela derivada
. Esse vetor indica a direção da curva em cada ponto.
Passo 6
Agora, a integral de linha da campo vetorial
ao longo da curva
é definida como o somatório dos produtos escalares entre o campo vetorial e o vetor tangente, ao longo de toda a curva. Matematicamente, isso é expresso por:
Onde:
-
é o campo vetorial avaliado na curva. -
é o vetor derivada da parametrização. -
e são os limites do intervalo .
Resposta
Então, a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva diferenciável
é definida por:
Isso representa a soma das contribuições do campo vetorial ao longo da curva, levando em conta a direção e a magnitude do campo em cada ponto da trajetória.