Defina o conceito de integral de linha de um campo vetorial F: R^2 R^2, ao longo de uma curva diferenciável C: I subset R R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para definir o conceito de integral de linha de um campo vetorial F: R^2 R^2 ao longo de uma curva diferenciável C: I subset R R^2. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos como campos vetoriais, curvas diferenciáveis, parametrização de curvas e o produto escalar. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é um campo vetorial. Um campo vetorial F em R^2 associa a cada ponto (x, y) do plano um vetor F(x, y) = (F1(x, y), F2(x, y)). É como se em cada ponto do espaço tivesse uma seta que aponta em alguma direção com certo tamanho.

Passo 3

Agora, a curva diferenciável C é basicamente uma trajetória suave no plano, sem “quebras” ou “cantinhos”. Matemáticamente, dizemos que existe uma função C(t) = (x(t), y(t)) que é derivável, ou seja, temos as derivadas x'(t) e y'(t) contínuas.

Passo 4

Para calcular a integral de linha, precisamos parametrizar a curva C. Isso significa expressar as coordenadas x e y em termos de uma variável t, que varia em um intervalo I. Então, temos C(t) = (x(t), y(t)) para t in I.

Passo 5

O próximo passo é calcular o vetor tangente à curva, que é dado pela derivada C'(t) = (x'(t), y'(t)). Esse vetor indica a direção da curva em cada ponto.

Passo 6

Agora, a integral de linha da campo vetorial F ao longo da curva C é definida como o somatório dos produtos escalares entre o campo vetorial e o vetor tangente, ao longo de toda a curva. Matematicamente, isso é expresso por:
integralC F cdot dr = integrala^b F(C(t)) cdot C'(t) , dt
Onde:
  • F(C(t)) é o campo vetorial avaliado na curva.
  • C'(t) é o vetor derivada da parametrização.
  • a e b são os limites do intervalo I.

Resposta

Então, a integral de linha de um campo vetorial F: R^2 R^2 ao longo de uma curva diferenciável C: I subset R R^2 é definida por:
integralC F cdot dr = integrala^b F(C(t)) cdot C'(t) , dt
Isso representa a soma das contribuições do campo vetorial ao longo da curva, levando em conta a direção e a magnitude do campo em cada ponto da trajetória.

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