em que é a curva triangular cujos vértices são os pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha . O caminho é um triângulo com vértices nos pontos , e . O Teorema de Green ajuda a transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região interna ao caminho, facilitando nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada que delimita uma região no plano, a integral de linha de ao longo de é igual à integral dupla sobre da diferença das derivadas parciais de e :
No nosso caso, temos e .
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a diferença é:
Passo 4
Com isso, a integral de linha fica transformada em uma integral dupla sobre a região :
Agora, precisamos descrever a região , que é o triângulo com vértices em , e .
Passo 5
Para definir os limites da integral dupla, vamos observar que no triângulo:
varia de 0 a 1.
Para cada , varia de 0 até a linha que conecta e . A equação dessa linha é .
Então, nossos limites são:
Passo 6
Agora, vamos configurar a integral dupla:
Primeiro, vamos integrar em relação a :
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral externa: