Utilize o Teorema de Green para calcular
integralC x^4 d x+x y d y
em que C é a curva triangular cujos vértices são os pontos (0,0),(1,0) e (0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha integralC x^4 dx + x y dy. O caminho C é um triângulo com vértices nos pontos (0,0), (1,0) e (0,1). O Teorema de Green ajuda a transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região interna ao caminho, facilitando nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada C que delimita uma região D no plano, a integral de linha de P dx + Q dy ao longo de C é igual à integral dupla sobre D da diferença das derivadas parciais de Q e P:
ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
No nosso caso, temos P = x^4 e Q = x y.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial (x y)partial x = y
partial Ppartial y = partial (x^4)partial y = 0
Então, a diferença é:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = y - 0 = y

Passo 4

Com isso, a integral de linha fica transformada em uma integral dupla sobre a região D:
ointC x^4 dx + x y dy = integral duplaD y , dA
Agora, precisamos descrever a região D, que é o triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1).

Passo 5

Para definir os limites da integral dupla, vamos observar que no triângulo:
  • x varia de 0 a 1.
  • Para cada x, y varia de 0 até a linha que conecta (1,0) e (0,1). A equação dessa linha é y = 1 - x.
Então, nossos limites são:
0 <= x <= 1
0 <= y <= 1 - x

Passo 6

Agora, vamos configurar a integral dupla:
integral duplaD y , dA = integral0^1 integral0^1 - x y , dy , dx
Primeiro, vamos integrar em relação a y:
integral0^1 - x y , dy = [ y^22 ]0^1 - x = (1 - x)^22

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^1 (1 - x)^22 , dx = 12 integral0^1 (1 - x)^2 , dx
Vamos expandir (1 - x)^2:
(1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2
Então, a integral fica:
12 integral0^1 (1 - 2x + x^2) , dx

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
12 [ integral0^1 1 , dx - 2 integral0^1 x , dx + integral0^1 x^2 , dx ]
Calculando cada integral:
integral0^1 1 , dx = x |0^1 = 1
integral0^1 x , dx = x^22 |0^1 = 12
integral0^1 x^2 , dx = x^33 |0^1 = 13
Substituindo de volta:
12 [ 1 - 2 ( 12 ) + 13 ] = 12 [ 1 - 1 + 13 ] = 12 ( 13 ) = 16

Resposta

A integral integralC x^4 dx + x y dy vale 16.

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