Calcule a integral de linha.
∫_{C} F · dr, onde F(x, y, z)=e^{z} i+x z j+(x+y) k e C é dado por r(t)=t^{2} i+t^{3} j-t k, 0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r
onde
\mathbf F(x,y,z)=\bigl(e^{z},\,x z,\,x+y\bigr)
e C é a curva paramétrica
\mathbf r(t)=\bigl(t^{2},\,t^{3},\,-t\bigr), \quad 0\le t\le1.
O conteúdo envolvido é integral de linha de campo vetorial: vamos parametrizar \mathbf F e d\mathbf r, fazer o produto escalar e integrar em t.

Passo 2

Primeiro calculamos
d\mathbf r = \mathbf r'(t)\,dt =\bigl(2t,\,3t^{2},\,-1\bigr)\,dt.

Passo 3

Agora avaliamos \mathbf F ao longo de \mathbf r(t):
x=t^{2},\quad y=t^{3},\quad z=-t
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\mathbf F\bigl(\mathbf r(t)\bigr) =\bigl(e^{-t},\,t^{2}\cdot(-t),\,t^{2}+t^{3}\bigr) =\bigl(e^{-t},\,-t^{3},\,t^{2}+t^{3}\bigr).

Passo 4

O integrando é o produto escalar
\mathbf F\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\cdot\mathbf r'(t) = e^{-t}\cdot(2t) + (-t^{3})\cdot(3t^{2}) + (t^{2}+t^{3})\cdot(-1)
ou seja
2t\,e^{-t} -3t^{5} -t^{2}-t^{3}.
Portanto
\int_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_{0}^{1}\bigl(2t\,e^{-t} -3t^{5} -t^{2}-t^{3}\bigr)\,dt.

Passo 5

Vamos separar em quatro integrais:
I_1=\int_{0}^{1}2t\,e^{-t}\,dt,\quad I_2=\int_{0}^{1}t^{2}\,dt,\quad I_3=\int_{0}^{1}t^{3}\,dt,\quad I_4=\int_{0}^{1}3t^{5}\,dt.
Para I_{1} usamos integração por partes com u=2t, dv=e^{-t}dt:
I_{1} =\Bigl[-(2t+2)e^{-t}\Bigr]_{0}^{1} =\bigl[-4e^{-1}\bigr]-\bigl[-2\cdot1\bigr] =2-\frac{4}{e}.
As demais são diretas:
I_{2}=\frac{1}{3},\quad I_{3}=\frac{1}{4},\quad I_{4}=3\cdot\frac{1}{6}=\frac12.
Somando com os sinais:
\int_{0}^{1}(2t\,e^{-t}-3t^{5}-t^{2}-t^{3})\,dt =\Bigl(2-\frac{4}{e}\Bigr) -\Bigl(\frac13+\frac14+\frac12\Bigr) =2-\frac{4}{e}-\frac{13}{12} =\frac{11}{12}-\frac{4}{e}.

Resposta

\int_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r =\frac{11}{12}-\frac{4}{e}.

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