Calcule a integral de linha.
∫_{C} F · dr, onde F(x, y, z)=e^{z} i+x z j+(x+y) k e C é dado por r(t)=t^{2} i+t^{3} j-t k, 0 ≤ t ≤ 1
∫_{C} F · dr, onde F(x, y, z)=e^{z} i+x z j+(x+y) k e C é dado por r(t)=t^{2} i+t^{3} j-t k, 0 ≤ t ≤ 1
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
e
é a curva paramétrica
O conteúdo envolvido é integral de linha de campo vetorial: vamos parametrizar
e
, fazer o produto escalar e integrar em
.
Passo 2
Primeiro calculamos
Passo 3
Agora avaliamos
ao longo de
:
logo
Passo 4
O integrando é o produto escalar
ou seja
Portanto
Passo 5
Vamos separar em quatro integrais:
Para
usamos integração por partes com
,
:
As demais são diretas:
Somando com os sinais: