Calcule a integral de linha.
∫_{C} F · dr, onde F(x, y)=x y i+x^{2} j, e C é dado por r(t)=sen t i+(1+t) j, 0 ≤ t ≤ π

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
onde \mathbf{F}(x,y)=x\,y\,\mathbf{i}+x^{2}\,\mathbf{j} e a curva C é dada por
\mathbf{r}(t)=(\sin t,\;1+t),\quad 0\le t\le \pi.
Vamos usar o parâmetro t e a fórmula
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{\pi}\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 2

Primeiro calculamos \mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) e \mathbf{r}'(t).
Como x=\sin t e y=1+t, temos
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) =\bigl(\sin t\,(1+t),\;(\sin t)^{2}\bigr).
E
\mathbf{r}'(t)=(\cos t,\;1).

Passo 3

O produto interno é
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t) =(1+t)\sin t\cos t+\sin^{2}t.
Assim a integral vira
I=\int_{0}^{\pi}\bigl[(1+t)\sin t\cos t+\sin^{2}t\bigr]\,dt =I_{1}+I_{2},
onde
I_{1}=\int_{0}^{\pi}(1+t)\sin t\cos t\,dt, \quad I_{2}=\int_{0}^{\pi}\sin^{2}t\,dt.

Passo 4

Calculamos I_{1}. Usamos \sin t\cos t=\tfrac12\sin2t:
I_{1} =\tfrac12\int_{0}^{\pi}(1+t)\sin2t\,dt =\tfrac12\Bigl[\int_{0}^{\pi}\sin2t\,dt+\int_{0}^{\pi}t\sin2t\,dt\Bigr].
A primeira integral é zero, e para a segunda usamos partes ( u=t,\,dv=\sin2t\,dt), obtendo
\int_{0}^{\pi}t\sin2t\,dt=-\frac{\pi}{2}.
Logo
I_{1}=\tfrac12\bigl(0+(-\tfrac{\pi}{2})\bigr)=-\frac{\pi}{4}.

Passo 5

Agora I_{2}. Sabemos que
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}t\,dt =\frac{\pi}{2}.

Passo 6

Somando os resultados:
I=I_{1}+I_{2} =-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2} =\frac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

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