Calcule a integral de linha.
∫_{C} y^{3} dx+x^{2} dy, C é o arco da parábola x=1-y^{2} de (0,-1) a (0,1)
∫_{C} y^{3} dx+x^{2} dy, C é o arco da parábola x=1-y^{2} de (0,-1) a (0,1)
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha de
sobre o arco da parábola que vai de
até
. O conteúdo aqui é parametrização de curvas e substituição na integral de linha.
sobre o arco da parábola
Passo 2
Parametrizamos o arco fazendo
Então
Passo 3
Substituindo em
, obtemos
Como
o integrando fica
Passo 4
A função
é par, logo
Calculando cada termo:
Assim
e multiplicando por
vem
Resposta
A integral de linha vale
.