Calcule a integral de linha.
∫_{C} y^{3} dx+x^{2} dy, C é o arco da parábola x=1-y^{2} de (0,-1) a (0,1)

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de
\displaystyle \int_{C} y^{3}\,dx + x^{2}\,dy
sobre o arco da parábola x=1-y^{2} que vai de (0,-1) até (0,1). O conteúdo aqui é parametrização de curvas e substituição na integral de linha.

Passo 2

Parametrizamos o arco fazendo
y = t,\quad x = 1 - t^{2},\quad t\in[-1,1].
Então
dx = \frac{d}{dt}(1 - t^{2})\,dt = -2t\,dt, \quad dy = dt.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int_{C} y^{3}\,dx + x^{2}\,dy, obtemos
\int_{-1}^{1}\Bigl(t^{3}\cdot(-2t)+(1 - t^{2})^{2}\cdot1\Bigr)\,dt =\int_{-1}^{1}\bigl(-2t^{4}+(1 - t^{2})^{2}\bigr)\,dt.
Como
(1 - t^{2})^{2} = 1 - 2t^{2} + t^{4},
o integrando fica
-2t^{4} + 1 - 2t^{2} + t^{4} = 1 - 2t^{2} - t^{4}.

Passo 4

A função 1-2t^{2}-t^{4} é par, logo
\int_{-1}^{1}(1-2t^{2}-t^{4})\,dt =2\int_{0}^{1}(1-2t^{2}-t^{4})\,dt.
Calculando cada termo:
\int_{0}^{1}1\,dt = 1, \quad \int_{0}^{1}t^{2}\,dt = \tfrac{1}{3}, \quad \int_{0}^{1}t^{4}\,dt = \tfrac{1}{5}.
Assim
\int_{0}^{1}(1-2t^{2}-t^{4})\,dt =1 - 2\cdot\tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{5} =\frac{15 - 10 - 3}{15} =\frac{2}{15},
e multiplicando por 2 vem
2\cdot \tfrac{2}{15} =\frac{4}{15}.

Resposta

A integral de linha vale \displaystyle \frac{4}{15}.

Exercícios relacionados