(a) Enuncie o Teorema de Existência e Unicidade para as EDO’s lineares de 2^a ordem.
(b) Verifique que as funções Phi1(t)=t^2 sin t e Phi2(t) equiv 0 são soluções do problema de valor inicial
t^2 y^prime prime-4 t y^prime+(t^2+6) y=0, y(0)=0 e y^prime(0)=0
(c) Este fato contradiz o Teorema de Existência e Unicidade?

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem:
(a) enunciar o Teorema de Existência e Unicidade;
(b) verificar que Phi1(t)=t^2sin t e Phi2(t)equiv0 satisfazem
t^2y''-4ty'+(t^2+6)y=0, y(0)=0, y'(0)=0;
(c) discutir se isso contradiz o Teorema de Existência e Unicidade.
Vamos precisar lembrar a forma padrão da EDO linear de segunda ordem e as hipóteses de continuidade dos coeficientes.

Passo 2

O Teorema de Existência e Unicidade para EDOs lineares de segunda ordem diz o seguinte:
Sejam p(t), q(t) e g(t) funções contínuas num intervalo aberto I que contém t0. Então, para quaisquer dados iniciais y(t0)=y0 e y'(t0)=y1, existe uma única função y(t) definida em I que satisfaz
y''+p(t),y'+q(t),y = g(t),
com as condições iniciais indicadas.

Passo 3

Primeiro escrevemos a equação na forma padrão dividindo por t^2 (onde tneq0):
y'' - 4ty' + l(1+6t^2r)y = 0
Para Phi1(t)=t^2sin t:
– Derivadas:
Phi1'(t)=2tsin t + t^2cos t,
Phi1''(t)=2sin t +4tcos t - t^2sin t
– Substituindo em t^2y''-4ty'+(t^2+6)y:
t^2Phi1''=2t^2sin t+4t^3cos t - t^4sin t,
-4tPhi1'=-8t^2sin t-4t^3cos t,
(t^2+6)Phi1=t^4sin t+6t^2sin t
Somando tudo, cada termo se anula e obtemos zero. Além disso,
Phi1(0)=0^2sin0=0 e
Phi1'(0)=limtto0(2tsin t + t^2cos t)=0.
Para Phi2(t)equiv0 é imediato que y=0 zera todos os termos da equação e também satisfaz Phi2(0)=0 e Phi2'(0)=0.

Passo 4

O ponto t=0 é singular porque o coeficiente de y'' vale t^2 e se anula em t=0. Logo, na forma padrão aparecem termos 4t e 6t^2 que não são contínuos em t=0. Assim, as hipóteses de continuidade do Teorema de Existência e Unicidade falham exatamente no ponto inicial, e por isso não há contradição.

Resposta

(a) Se p,q,g são contínuas num intervalo I contendo t0, então para quaisquer y0,y1 existe uma única solução de
y''+p(t)y'+q(t)y = g(t),
com y(t0)=y0, y'(t0)=y1.
(b) Verificamos que Phi1(t)=t^2sin t e Phi2(t)equiv0 satisfazem a EDO e as condições iniciais.
(c) Não há contradição, pois em t=0 o coeficiente líder t^2 se anula e impede a aplicação do teorema.

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