(a) Enuncie o Teorema de Existência e Unicidade para as EDO’s lineares de
ordem.
(b) Verifique que as funções
e
são soluções do problema de valor inicial
(c) Este fato contradiz o Teorema de Existência e Unicidade?
(b) Verifique que as funções
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem:
(a) enunciar o Teorema de Existência e Unicidade;
(b) verificar que e
satisfazem
(a) enunciar o Teorema de Existência e Unicidade;
(b) verificar que
(c) discutir se isso contradiz o Teorema de Existência e Unicidade.
Vamos precisar lembrar a forma padrão da EDO linear de segunda ordem e as hipóteses de continuidade dos coeficientes.
Vamos precisar lembrar a forma padrão da EDO linear de segunda ordem e as hipóteses de continuidade dos coeficientes.
Passo 2
O Teorema de Existência e Unicidade para EDOs lineares de segunda ordem diz o seguinte:
Sejam ,
e
funções contínuas num intervalo aberto
que contém
. Então, para quaisquer dados iniciais
e
, existe uma única função
definida em
que satisfaz
Sejam
com as condições iniciais indicadas.
Passo 3
Primeiro escrevemos a equação na forma padrão dividindo por
(onde
):
Para
:
– Derivadas:
– Derivadas:
– Substituindo em
:
Somando tudo, cada termo se anula e obtemos zero. Além disso,
e
.
Para é imediato que
zera todos os termos da equação e também satisfaz
e
.
Para
Passo 4
O ponto
é singular porque o coeficiente de
vale
e se anula em
. Logo, na forma padrão aparecem termos
e
que não são contínuos em
. Assim, as hipóteses de continuidade do Teorema de Existência e Unicidade falham exatamente no ponto inicial, e por isso não há contradição.
Resposta
(a) Se
são contínuas num intervalo
contendo
, então para quaisquer
existe uma única solução de
com
,
.
(b) Verificamos que e
satisfazem a EDO e as condições iniciais.
(c) Não há contradição, pois em o coeficiente líder
se anula e impede a aplicação do teorema.
(b) Verificamos que
(c) Não há contradição, pois em