Resolva a equação:
d yd x=x^21+y^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = x^21+y^2
Este é um problema de equação de variáveis separáveis. Vamos separar as variáveis x e y e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando em cruz:
(1+y^2),dydx = x^2 Longrightarrow (1+y^2),dy = x^2,dx

Passo 3

Integre ambos os lados:
integral (1+y^2),dy = integral x^2,dx
No lado esquerdo,
integral (1+y^2),dy = integral 1,dy + integral y^2,dy = y + y^33
No lado direito,
integral x^2,dx = x^33
Portanto, após a integração, obtemos
y + y^33 = x^33 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Podemos multiplicar tudo por 3 para simplificar a forma implícita:
3y + y^3 = x^3 + C',
sendo C' = 3C outra constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
y + y^33 = x^33 + C,
ou equivalentemente
y^3 + 3y = x^3 + C',
onde C (ou C') é a constante de integração.

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