Calcule a integral de linha.
∫_{C} √(x y) dx+e^{y} dy+x z dz, C é dado por r(t)=t^{4} i+t^{2} j+t^{3} k, 0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\sqrt{x\,y}\,dx \;+\; e^{y}\,dy \;+\; x\,z\,dz
onde a curva C é dada pela parametrização
r(t) = (x(t),y(t),z(t)) = (t^{4},\,t^{2},\,t^{3}),\quad 0\le t\le1.
Isso envolve substituir x(t),y(t),z(t) e suas derivadas na forma diferencial dx,dy,dz, transformar tudo numa integral em t e então integrar termo a termo.

Passo 2

Calcular as diferenciais em função de t:
x(t)=t^{4} \quad\Longrightarrow\quad dx = x'(t)\,dt = 4t^{3}\,dt,
y(t)=t^{2} \quad\Longrightarrow\quad dy = y'(t)\,dt = 2t\,dt,
z(t)=t^{3} \quad\Longrightarrow\quad dz = z'(t)\,dt = 3t^{2}\,dt.

Passo 3

Substituir em cada termo da integral:
  1. \sqrt{x\,y}\,dx = \sqrt{t^{4}\cdot t^{2}}\,(4t^{3}dt) = t^{3}\cdot4t^{3}\,dt = 4t^{6}\,dt.
  2. e^{y}\,dy = e^{t^{2}}\,(2t\,dt)=2t\,e^{t^{2}}\,dt.
  3. x\,z\,dz = (t^{4}\cdot t^{3})\,(3t^{2}dt)=3t^{9}\,dt.
Logo a integral de linha vira
\int_{0}^{1}\bigl(4t^{6} + 2t\,e^{t^{2}} + 3t^{9}\bigr)\,dt.

Passo 4

Integrar termo a termo:
\int 4t^{6}\,dt = \frac{4}{7}t^{7},\quad \int 2t\,e^{t^{2}}\,dt = e^{t^{2}},\quad \int 3t^{9}\,dt = \frac{3}{10}t^{10}.
Portanto
\int_{0}^{1}\bigl(4t^{6} + 2t\,e^{t^{2}} + 3t^{9}\bigr)\,dt = \Bigl[\frac{4}{7}t^{7} + e^{t^{2}} + \frac{3}{10}t^{10}\Bigr]_{0}^{1}.

Passo 5

Avaliar em t=1 e t=0:
\Bigl(\tfrac{4}{7} + e^{1} + \tfrac{3}{10}\Bigr) - \Bigl(0 + e^{0} + 0\Bigr) = \frac{4}{7} + e + \frac{3}{10} - 1.
Somando as frações:
\frac{4}{7}+\frac{3}{10} = \frac{40 + 21}{70} = \frac{61}{70},
logo o resultado é
e \;+\;\frac{61}{70}-1 = e - \frac{9}{70}.

Resposta

e \;-\;\frac{9}{70}.

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