(a) O que é uma superfície orientada? Dê um exemplo de superfície não orientável.
(b) Defina a integral de superfície (ou fluxo) de um campo vetorial
sobre uma superfície orientada
com vetor normal unitário
.
(c) Como calcular tal integral se
for uma superfície parametrizada dada por uma função vetorial
?
(d) E se S for dada pela equação
?
(b) Defina a integral de superfície (ou fluxo) de um campo vetorial
(c) Como calcular tal integral se
(d) E se S for dada pela equação
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas sobre integrais de superfície de um campo vetorial:
(a) o que é uma superfície orientada e exemplo de não orientável;
(b) definição da integral de superfície (fluxo) de sobre superfície orientada
com normal unitário
;
(c) fórmula para calcular essa integral quando é parametrizada por
;
(d) fórmula quando é dada por
.
Vamos usar conceitos de orientação de superfícies, produto vetorial e mudança de variáveis em integrais de superfície.
(a) o que é uma superfície orientada e exemplo de não orientável;
(b) definição da integral de superfície (fluxo) de
(c) fórmula para calcular essa integral quando
(d) fórmula quando
Vamos usar conceitos de orientação de superfícies, produto vetorial e mudança de variáveis em integrais de superfície.
Passo 2
(a) Uma superf’icie
`e orientada se for poss’ivel escolher continuamente um vetor normal unit’ario
em cada ponto
. Isso exige que
n~ao tenha “meias-tor\c{c}~oes” que impe\c{c}am a escolha cont’inua de
.
Um exemplo cl’assico de superf’icie n~ao orient’avel `e a fita de M"obius, pois ao percorr^e-la uma volta completa o normal proposto inverte de dire\c{c}~ao, impedindo uma orienta\c{c}~ao cont’inua.
Um exemplo cl’assico de superf’icie n~ao orient’avel `e a fita de M"obius, pois ao percorr^e-la uma volta completa o normal proposto inverte de dire\c{c}~ao, impedindo uma orienta\c{c}~ao cont’inua.
Passo 3
(b) Dado um campo vetorial
e uma superfície orientada
com normal unitário
, define-se o fluxo (ou integral de superfície) por
onde
é o elemento de área em
e
mede a componente de
na direção normal.
Passo 4
(c) Se
é dada por uma parametrização regular
então um vetor normal (orientado) é
e
Logo, o fluxo é
adotando a orientação dada pela escolha de
.
Passo 5
(d) Se
é o gráfico de
sobre um domínio
, usamos a parametrização
. Calculamos
e
Assim, escolhendo a orientação “para cima”,
Resposta
(a) Superf’icie orientada permite escolher um vetor normal unit’ario cont’inuo em toda
. Fita de M"obius `e um exemplo n~ao orient’avel.
(b) .
(c) .
(d) .
(b)
(c)
(d)