(a) O que é uma superfície orientada? Dê um exemplo de superfície não orientável.
(b) Defina a integral de superfície (ou fluxo) de um campo vetorial \mathbf{F} sobre uma superfície orientada S com vetor normal unitário \mathbf{n}.
(c) Como calcular tal integral se S for uma superfície parametrizada dada por uma função vetorial \mathbf{r}(u, v) ?
(d) E se S for dada pela equação z=g(x, y) ?

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre integrais de superfície de um campo vetorial:
(a) o que é uma superfície orientada e exemplo de não orientável;
(b) definição da integral de superfície (fluxo) de \mathbf{F} sobre superfície orientada S com normal unitário \mathbf{n};
(c) fórmula para calcular essa integral quando S é parametrizada por \mathbf{r}(u,v);
(d) fórmula quando S é dada por z=g(x,y).
Vamos usar conceitos de orientação de superfícies, produto vetorial e mudança de variáveis em integrais de superfície.

Passo 2

(a) Uma superf’icie S `e orientada se for poss’ivel escolher continuamente um vetor normal unit’ario \mathbf{n}(p) em cada ponto p\in S. Isso exige que S n~ao tenha “meias-tor\c{c}~oes” que impe\c{c}am a escolha cont’inua de \mathbf{n}.
Um exemplo cl’assico de superf’icie n~ao orient’avel `e a fita de M"obius, pois ao percorr^e-la uma volta completa o normal proposto inverte de dire\c{c}~ao, impedindo uma orienta\c{c}~ao cont’inua.

Passo 3

(b) Dado um campo vetorial \mathbf{F}\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 e uma superfície orientada S com normal unitário \mathbf{n}, define-se o fluxo (ou integral de superfície) por
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde dS é o elemento de área em S e \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} mede a componente de \mathbf{F} na direção normal.

Passo 4

(c) Se S é dada por uma parametrização regular
\mathbf{r}(u,v)=(x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)),\quad (u,v)\in D,
então um vetor normal (orientado) é \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v e
d\mathbf{S} = (\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v)\,du\,dv.
Logo, o fluxo é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{D}\mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v))\cdot\bigl(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\bigr)\,du\,dv,
adotando a orientação dada pela escolha de \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v.

Passo 5

(d) Se S é o gráfico de z=g(x,y) sobre um domínio D\subset\mathbb{R}^2, usamos a parametrização \mathbf{r}(x,y)=(x,y,g(x,y)). Calculamos
\mathbf{r}_x=(1,0,g_x),\quad \mathbf{r}_y=(0,1,g_y),
e
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y = (-g_x,\,-g_y,\,1).
Assim, escolhendo a orientação “para cima”,
d\mathbf{S} = (-g_x,\,-g_y,\,1)\,dx\,dy \quad\Longrightarrow\quad \iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{D}\mathbf{F}(x,y,g(x,y))\cdot\bigl(-g_x,\,-g_y,\,1\bigr)\,dx\,dy.

Resposta

(a) Superf’icie orientada permite escolher um vetor normal unit’ario cont’inuo em toda S. Fita de M"obius `e um exemplo n~ao orient’avel.
(b) \displaystyle \iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS.
(c) \displaystyle \iint_{D}\mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v))\cdot(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v)\,du\,dv.
(d) \displaystyle \iint_{D}\mathbf{F}(x,y,g(x,y))\cdot(-g_x,-g_y,1)\,dx\,dy.

Exercícios relacionados