Calcule a integral de linha.
∫_{C} y z cos x ds, C: x=t, y=3 cos t, z=3 sen t, 0 ≤ t ≤ π

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha do campo escalar f(x,y,z)=y\,z\cos x ao longo da curva C dada por
x=t,\quad y=3\cos t,\quad z=3\sin t,\quad 0\le t\le \pi.
O conteúdo envolvido é integral de linha de uma função escalar, que se calcula por
\int_{C}f\,ds = \int_{a}^{b}f\bigl(r(t)\bigr)\,\bigl\|r'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Substituímos na função f as coordenadas de C. Para r(t)=(t,\,3\cos t,\,3\sin t) temos
f\bigl(r(t)\bigr)=y\,z\cos x = \bigl(3\cos t\bigr)\bigl(3\sin t\bigr)\cos t = 9\cos^2 t\;\sin t.

Passo 3

Calculamos a derivada do vetor posição e seu comprimento:
r'(t) = \bigl(1,\,-3\sin t,\,3\cos t\bigr),
\bigl\|r'(t)\bigr\| = \sqrt{1^2+(-3\sin t)^2+(3\cos t)^2} = \sqrt{1+9\sin^2 t+9\cos^2 t} = \sqrt{10}.

Passo 4

A integral de linha vira
\int_{C}y\,z\cos x\,ds = \int_{0}^{\pi} 9\cos^2 t\;\sin t\;\sqrt{10}\;dt =9\sqrt{10}\int_{0}^{\pi}\cos^2 t\;\sin t\;dt.

Passo 5

Para calcular
I=\int_{0}^{\pi}\cos^2 t\;\sin t\;dt
fazemos a substituição u=\cos t, du=-\sin t\,dt. Quando t=0, u=1; quando t=\pi, u=-1. Então
I = \int_{u=1}^{u=-1}u^2\,(-du) = \int_{-1}^{1}u^2\,du = \Bigl[\tfrac{u^3}{3}\Bigr]_{-1}^{1} = \tfrac{1}{3}-\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) = \tfrac{2}{3}.

Passo 6

Voltando à integral original,
\int_{C}y\,z\cos x\,ds = 9\sqrt{10}\;\frac{2}{3} =6\sqrt{10}.

Resposta

6\sqrt{10}

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