(a) Escreva a definição da integral de superfície de uma função escalar f sobre uma superfície S.
(b) Como calcular tal integral se S for uma superfície parametrizada dada por uma função vetorial \mathbf{r}(u, v) ?
(c) E se S for dada pela equação z=g(x, y) ?
(d) Se uma folha fina tem o formato de uma superfície S e a densidade em (x, y, z) é \rho(x, y, z), escreva expressões para a massa e o centro de massa da folha.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas: a definição da integral de superfície de uma função escalar f sobre uma superfície S, a fórmula em coordenadas de parâmetro \mathbf{r}(u,v), o caso especial quando S é o gráfico z=g(x,y) e, por fim, expressões para a massa e o centro de massa de uma lâmina de densidade \rho(x,y,z) apoiada em S. Vamos usar o conceito de soma de Riemann sobre pequenas “áreas” de S.
Passo 2
Definimos a integral de superfície de f sobre S como o limite de somas de Riemann. Se \{S_i\} é uma partição de S em pedaços de área \Delta S_i e P_i\in S_i, então