(a) Escreva a definição da integral de superfície de uma função escalar f sobre uma superfície S.
(b) Como calcular tal integral se S for uma superfície parametrizada dada por uma função vetorial \mathbf{r}(u, v) ?
(c) E se S for dada pela equação z=g(x, y) ?
(d) Se uma folha fina tem o formato de uma superfície S e a densidade em (x, y, z) é \rho(x, y, z), escreva expressões para a massa e o centro de massa da folha.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas: a definição da integral de superfície de uma função escalar f sobre uma superfície S, a fórmula em coordenadas de parâmetro \mathbf{r}(u,v), o caso especial quando S é o gráfico z=g(x,y) e, por fim, expressões para a massa e o centro de massa de uma lâmina de densidade \rho(x,y,z) apoiada em S. Vamos usar o conceito de soma de Riemann sobre pequenas “áreas” de S.

Passo 2

Definimos a integral de superfície de f sobre S como o limite de somas de Riemann. Se \{S_i\} é uma partição de S em pedaços de área \Delta S_i e P_i\in S_i, então
\int_{S} f\,dS =\lim_{\max\mathrm{diam}(S_i)\to0} \sum_i f(P_i)\,\Delta S_i.
Esse limite existe sempre que S for suficientemente suave e f for contínua.

Passo 3

Quando S é dada por uma parametrização suave
\mathbf{r}(u,v), (u,v)\in D\subset\mathbb{R}^2, a área do elemento da superfície é
dS=\bigl\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\bigr\|\,du\,dv.
Logo
\int_{S} f\,dS =\iint_{D} f\bigl(\mathbf{r}(u,v)\bigr)\, \bigl\|\mathbf{r}_u(u,v)\times\mathbf{r}_v(u,v)\bigr\|\, du\,dv.

Passo 4

Se S é o gráfico de z=g(x,y) sobre um domínio D\subset\mathbb{R}^2, usamos a parametrização
\mathbf{r}(x,y)=(x,y,g(x,y)). Calcula-se
\mathbf{r}_x=(1,0,g_x), \quad \mathbf{r}_y=(0,1,g_y),
de onde
\bigl\|\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\bigr\| =\sqrt{1+g_x(x,y)^2+g_y(x,y)^2}.
Assim
\int_{S} f\,dS =\iint_{D} f\bigl(x,y,g(x,y)\bigr)\, \sqrt{1+g_x(x,y)^2+g_y(x,y)^2}\, dx\,dy.

Passo 5

Para uma lâmina de densidade \rho(x,y,z) apoiada em S, a massa é
m=\int_{S}\rho\,dS
e o centro de massa \bigl(\overline{x},\overline{y},\overline{z}\bigr) satisfaz
\overline{x} =\frac{1}{m}\int_{S}x\,\rho\,dS, \quad \overline{y} =\frac{1}{m}\int_{S}y\,\rho\,dS, \quad \overline{z} =\frac{1}{m}\int_{S}z\,\rho\,dS.

Resposta

(a) A definição pela soma de Riemann é
\int_{S} f\,dS =\lim_{\max\mathrm{diam}(S_i)\to0} \sum_i f(P_i)\,\Delta S_i.
(b) Se \mathbf{r}(u,v) parametriza S em D, então
\int_{S} f\,dS =\iint_{D} f\bigl(\mathbf{r}(u,v)\bigr)\, \bigl\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\bigr\|\, du\,dv.
(c) Se S é o gráfico z=g(x,y) em D,
\int_{S} f\,dS =\iint_{D} f\bigl(x,y,g(x,y)\bigr)\, \sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\, dx\,dy.
(d) Massa e centro de massa da lâmina são
m=\int_{S}\rho\,dS, \quad \overline{x}=\frac{1}{m}\int_{S}x\,\rho\,dS, \quad \overline{y}=\frac{1}{m}\int_{S}y\,\rho\,dS, \quad \overline{z}=\frac{1}{m}\int_{S}z\,\rho\,dS.

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