Calcule a integral de linha do campo F=-z i+3 x j+2 y k, no caminho fechado definido pelas arestas do triângulo cujos vértices são (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1) (percorridos nesta ordem).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha fechada
ointCvec Fcdot dvec r,
onde vec F = -z,vec i + 3x,vec j + 2y,vec k e C é o caminho formado pelas arestas do triângulo de vértices (1,0,0)to(0,1,0)to(0,0,1)to(1,0,0).
Vamos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha sobre C com uma integral de superfície de nablatimesvec F.

Passo 2

Calcular o rotacional de vec F:
nablatimesvec F = vec i & vec j & vec k partial/partial x & partial/partial y & partial/partial z -z & 3x & 2y =2,vec i-vec j+3,vec k

Passo 3

Parametrizar a superfície S (o próprio triângulo) pelo plano x+y+z=1. Use
vec r(u,v)=(u,v,1-u-v),
com (u,v) variando em
D=(u,v)mid u>=0,;v>=0,;u+v<=1
Então
vec ru=(1,0,-1), vec rv=(0,1,-1),
vec rutimesvec rv=(1,1,1)

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes,
ointCvec Fcdot dvec r =integral duplaS(nablatimesvec F)cdot(vec rutimesvec rv),du,dv
Aqui
(nablatimesvec F)cdot(vec rutimesvec rv) =(2,-1,3)cdot(1,1,1) =2-1+3=4,
e a área do domínio D no plano (u,v) é tfrac12. Logo,
ointCvec Fcdot dvec r =integral0^1!integral0^1-u4,dv,du =4cdottfrac12 =2

Resposta

2

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