Calcule a integral de linha do campo , no caminho fechado definido pelas arestas do triângulo cujos vértices são e (percorridos nesta ordem).
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha fechada ,
onde e é o caminho formado pelas arestas do triângulo de vértices .
Vamos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha sobre com uma integral de superfície de .
Passo 2
Calcular o rotacional de :
Passo 3
Parametrizar a superfície S (o próprio triângulo) pelo plano x+y+z=1. Use
vec r(u,v)=(u,v,1-u-v),
com (u,v) variando em
D=(u,v)mid u>=0,;v>=0,;u+v<=1
Então
vec ru=(1,0,-1), vec rv=(0,1,-1),
vec rutimesvec rv=(1,1,1)
Passo 4
Pelo Teorema de Stokes,
ointCvec Fcdot dvec r =integral duplaS(nablatimesvec F)cdot(vec rutimesvec rv),du,dv