Se , quanto é ? E se , quanto é ? Responda novamente, trocando os limites em por .
Passo 1
O enunciado pede para determinar nos casos em que ,
e depois repetir trocando por . Vamos usar a propriedade de limites de recíprocas: se , então .
Passo 2
Suponha .
Isso significa que, dado qualquer , existe tal que, para todo , .
Logo, para ,
o que implica limxtoinfty1f(x)=0. Como f(x)>0 nessa região, na verdade tfrac1f(x)to0^+, mas o valor do limite é 0.
Passo 3
Suponha limxtoinftyf(x)=-infty.
Analogamente, para dado M>0 existe X tal que x>X implica f(x)<-M.
Então para x>X valem
l|tfrac1f(x)r|<1M,
de onde limxtoinfty1f(x)=0. Neste caso tfrac1f(x)to0^-, mas o limite é 0.
Passo 4
Quando analisamos xto-infty, o raciocínio é idêntico, pois se limxto-inftyf(x)=pminfty então para valores muito negativos de x a magnitude de f(x) cresce sem limite e, portanto, seu recíproco tende a zero (com sinal compatível).
Resposta
limxtoinfty1f(x)=0 se limxtoinftyf(x)=infty. limxtoinfty1f(x)=0 se limxtoinftyf(x)=-infty. limxto-infty1f(x)=0 se limxto-inftyf(x)=infty. limxto-infty1f(x)=0 se limxto-inftyf(x)=-infty.