Se lim x infty f(x)=infty, quanto é lim x infty 1f(x) ? E se lim x infty f(x)=-infty, quanto é lim x infty 1f(x) ? Responda novamente, trocando os limites em x por x -infty.

Passo 1

O enunciado pede para determinar
limxtoinfty1f(x) nos casos em que limxtoinftyf(x)=pminfty,
e depois repetir trocando xtoinfty por xto -infty. Vamos usar a propriedade de limites de recíprocas: se f(x)topminfty, então 1/f(x)to0.

Passo 2

Suponha limxtoinftyf(x)=infty.
Isso significa que, dado qualquer M>0, existe X tal que, para todo x>X, f(x)>M.
Logo, para x>X,
l|tfrac1f(x)r|<1M,
o que implica limxtoinfty1f(x)=0. Como f(x)>0 nessa região, na verdade tfrac1f(x)to0^+, mas o valor do limite é 0.

Passo 3

Suponha limxtoinftyf(x)=-infty.
Analogamente, para dado M>0 existe X tal que x>X implica f(x)<-M.
Então para x>X valem
l|tfrac1f(x)r|<1M,
de onde limxtoinfty1f(x)=0. Neste caso tfrac1f(x)to0^-, mas o limite é 0.

Passo 4

Quando analisamos xto-infty, o raciocínio é idêntico, pois se limxto-inftyf(x)=pminfty então para valores muito negativos de x a magnitude de f(x) cresce sem limite e, portanto, seu recíproco tende a zero (com sinal compatível).

Resposta

limxtoinfty1f(x)=0 se limxtoinftyf(x)=infty.
limxtoinfty1f(x)=0 se limxtoinftyf(x)=-infty.
limxto-infty1f(x)=0 se limxto-inftyf(x)=infty.
limxto-infty1f(x)=0 se limxto-inftyf(x)=-infty.

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