Calcule a integral de linha do campo F(x, y)=(2 x+y) i+(2 y+x) j ao longo do caminho C dado:
Pelo triângulo de vértices (-1,0),(2,-1) e (1,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de
F(x,y) = (2x+y)i + (2y+x)j ao longo do contorno fechado C formado pelo triângulo de vértices (-1,0), (2,-1) e (1,3). O conteúdo é integral de linha em campo vetorial e vamos precisar usar a noção de campo conservativo ou o Teorema de Green.

Passo 2

Para ver se podemos simplificar a integral, verificamos se F é conservativo. Para isso calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y = partial (2x+y)partial y = 1, partial Qpartial x = partial (2y+x)partial x = 1
Como essas derivadas são iguais, F é conservativo em todo R^2.

Passo 3

Agora construímos a potencial f(x,y) tal que nabla f = F. Integramos fx = 2x+y em relação a x:
f(x,y) = x^2 + xy + g(y)
Derivando em relação a y devemos obter fy = x + g'(y) = 2y + x, logo g'(y) = 2y e g(y)=y^2+C. Assim
f(x,y)=x^2 + xy + y^2 + C

Passo 4

Como a integral de linha de um campo conservativo ao longo de um caminho fechado é zero (ou seja, depende apenas dos pontos finais e aqui eles coincidem), concluímos que
ointC Fcdot dr = 0

Resposta

0

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