Questão 1 ( 2.5 pts )
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa.
(V) O gráfico de uma função e o de seu polinômio de Maclaurin têm um ponto em comum no eixo y.
(F) Se for o sexto polinômio de Taylor de uma função em torno de , então .
(F) Se uma série de potências em convergir condicionalmente em , então a série convergirá se e divergirá se .
(V) O teste da razão é útil para determinar a convergência nas extremidades do intervalo de convergência de uma série de potências.
(F) A série converge se .
Passo 1
O enunciado lista cinco afirmações sobre polinômios de Taylor/Maclaurin, derivadas e séries de potências, e pede para decidir se cada uma é verdadeira (V) ou falsa (F). Vamos usar conceitos de expansão em série de Taylor, propriedades de derivadas de polinômios de Taylor, raio de convergência de séries de potências e o teste da razão.
Passo 2
Afirmação 1: “O gráfico de uma função e o de seu polinômio de Maclaurin têm um ponto em comum no eixo .”
O polinômio de Maclaurin converge em exatamente para , logo ambos passam pelo ponto .
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Afirmação 2: “Se for o sexto polinômio de Taylor de em torno de , então .”
Pelo desenvolvimento
a quarta derivada em retira o fator com multiplicador , mas este cancela com o denominador , restando
não . Logo a afirmação é falsa.
Passo 4
Afirmação 3: “Se uma série de potências em convergir condicionalmente em , então a série convergirá se e divergirá se .”
Convergência condicional em implica que o raio de convergência é exatamente (caso haveria convergência absoluta em ). Assim, para há convergência absoluta (logo convergência) e para diverge. A afirmação é verdadeira.
Passo 5
Afirmação 4: “O teste da razão é útil para determinar a convergência nas extremidades do intervalo de convergência de uma série de potências.”
O teste da razão só garante convergência absoluta quando o limite é menor que 1 e divergência quando maior que 1; na borda (limite igual a 1) ele é inconclusivo. Logo não serve para dizer o que ocorre exatamente nos extremos . A afirmação é falsa.
Passo 6
Afirmação 5: “A série converge se .”
Pelo teste da razão temos
para todo xinR. Logo a série converge para qualquer x, não apenas para |x|<1. A afirmação é falsa.