Questão 1 ( 2.5 pts )
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa.
(V) O gráfico de uma função f e o de seu polinômio de Maclaurin têm um ponto em comum no eixo y.
(F) Se p6(x) for o sexto polinômio de Taylor de uma função f em torno de x=x0, então P6^(4)(x0)=4!f^(4)(x0).
(F) Se uma série de potências em x convergir condicionalmente em x=3, então a série convergirá se |x|<3 e divergirá se |x|>3.
(V) O teste da razão é útil para determinar a convergência nas extremidades do intervalo de convergência de uma série de potências.
(F) A série sumk=0^x x^kk! converge se |x|<1 .

Passo 1

O enunciado lista cinco afirmações sobre polinômios de Taylor/Maclaurin, derivadas e séries de potências, e pede para decidir se cada uma é verdadeira (V) ou falsa (F). Vamos usar conceitos de expansão em série de Taylor, propriedades de derivadas de polinômios de Taylor, raio de convergência de séries de potências e o teste da razão.

Passo 2

Afirmação 1: “O gráfico de uma função f e o de seu polinômio de Maclaurin têm um ponto em comum no eixo y.”
O polinômio de Maclaurin converge em x=0 exatamente para f(0), logo ambos passam pelo ponto (0,f(0)).
Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Afirmação 2: “Se p6(x) for o sexto polinômio de Taylor de f em torno de x0, então p6^(4)(x0)=4!,f^(4)(x0).”
Pelo desenvolvimento
p6(x)=sumn=0^6f^(n)(x0)n!(x-x0)^n
a quarta derivada em x0 retira o fator (x-x0)^4 com multiplicador 4!, mas este cancela com o denominador 4!, restando
p6^(4)(x0)=f^(4)(x0),
não 4!,f^(4)(x0). Logo a afirmação é falsa.

Passo 4

Afirmação 3: “Se uma série de potências em x convergir condicionalmente em x=3, então a série convergirá se |x|<3 e divergirá se |x|>3.”
Convergência condicional em x=3 implica que o raio de convergência R é exatamente 3 (caso R>3 haveria convergência absoluta em x=3). Assim, para |x|<3 há convergência absoluta (logo convergência) e para |x|>3 diverge. A afirmação é verdadeira.

Passo 5

Afirmação 4: “O teste da razão é útil para determinar a convergência nas extremidades do intervalo de convergência de uma série de potências.”
O teste da razão só garante convergência absoluta quando o limite é menor que 1 e divergência quando maior que 1; na borda (limite igual a 1) ele é inconclusivo. Logo não serve para dizer o que ocorre exatamente nos extremos x=pm R. A afirmação é falsa.

Passo 6

Afirmação 5: “A série sumk=0^inftyx^kk! converge se |x|<1.”
Pelo teste da razão temos
limktoinfty|x^k+1/(k+1)!x^k/k!| =limktoinfty|x|k+1=0<1
para todo xinR. Logo a série converge para qualquer x, não apenas para |x|<1. A afirmação é falsa.

Resposta

  1. V
  2. F
  3. V
  4. F
  5. F

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