Calcule a integral de linha do campo F(x, y)=(2 x+y) i+(2 y+x) j ao longo do caminho C dado:
Por um caminho qualquer unindo os pontos (-1,2)(1,5), nesse sentido.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha do campo F(x,y)=(2x+y),i+(2y+x),j ao longo de um caminho qualquer de A=(-1,2) até B=(1,5). Vamos ver se F é conservativo, pois nesse caso a integral independe do caminho e basta achar uma função potencial.

Passo 2

Escrevendo F=(P,Q) com P(x,y)=2x+y e Q(x,y)=2y+x, calculamos
partial Ppartial y =partialpartial y(2x+y)=1, partial Qpartial x =partialpartial x(2y+x)=1
Como partial P/partial y=partial Q/partial x num domínio simplesmente conexo ( R^2), F é conservativo.

Passo 3

Procuramos f(x,y) tal que nabla f=F. Da condição
partial fpartial x=2x+y
integramos em x:
f(x,y)=integral(2x+y),dx =x^2+xy+g(y)
Depois usamos
partial fpartial y =x+g'(y) stackrel!=2y+x Longrightarrow g'(y)=2y ;Longrightarrow; g(y)=y^2+C
Desconsiderando a constante, escolhemos
f(x,y)=x^2+xy+y^2

Passo 4

Como a integral independe do caminho, vale
integralCFcdot dr =fl(Br)-fl(Ar)
Calculamos
f(1,5)=1^2+1cdot5+5^2=1+5+25=31, f(-1,2)=(-1)^2+(-1)cdot2+2^2=1-2+4=3,
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integralCFcdot dr =31-3=28

Resposta

28

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