Se é dada por: se e , prove que:
(a) A função é contínua na origem.
(b) As derivadas parciais e existem em todo , mas não são contínuas em .
(c) A função não é diferenciável na origem. Por que isso não contradiz o Lema Fundamental?
Passo 1
O enunciado define
e pede:
(a) mostrar que f é contínua em (0,0);
(b) mostrar que as derivadas parciais fx e fy existem em todo R^2, mas não são contínuas em (0,0);
(c) mostrar que f não é diferenciável em (0,0) e explicar por que isso não contradiz o Lema Fundamental de Cálculo de Variáveis Reais.
Passo 2
Para a continuidade em (0,0) basta verificar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0
Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, com r=raizx^2+y^2, temos para (x,y)neq(0,0):
Esse valor tende a 3/2 quando xto0, mas fx(0,0)=0. Logo lim(x,y)to(0,0)fx(x,y)neq fx(0,0),
isto é, fx não é contínua em (0,0). O mesmo raciocínio vale para fy.
Passo 6
Para verificar que f não é diferenciável em (0,0) consideramos a definição: se fosse diferenciável, haveria uma forma linear L(x,y)=fx(0,0)x+fy(0,0)y=0 tal que
que depende de theta e não tende a um único valor. Logo o limite não existe e f não é diferenciável em (0,0).
Passo 7
Isso não contradiz o Lema Fundamental (ou teorema das derivadas parciais contínuas implicam diferenciabilidade), pois esse resultado dá apenas uma condição suficiente (continuidade de fx e fy em torno do ponto) para diferenciabilidade, mas não é condição necessária. Aqui temos parciais existentes e descontínuas, e realmente f não é diferenciável.
Resposta
(a) f é contínua em (0,0).
(b) fx e fy existem em todo R^2, mas não são contínuas em (0,0).
(c) f não é diferenciável em (0,0). Isso não contradiz o Lema Fundamental porque a continuidade das derivadas parciais é apenas uma condição suficiente, não necessária, para diferenciabilidade.