Se z=f(x, y) é dada por: f(x, y)=3 x^2 yx^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) e f(0,0)=0, prove que:
(a) A função f é contínua na origem.
(b) As derivadas parciais fx e fy existem em todo R^2, mas não são contínuas em (0,0).
(c) A função f não é diferenciável na origem. Por que isso não contradiz o Lema Fundamental?

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfrac3x^2yx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pede:
(a) mostrar que f é contínua em (0,0);
(b) mostrar que as derivadas parciais fx e fy existem em todo R^2, mas não são contínuas em (0,0);
(c) mostrar que f não é diferenciável em (0,0) e explicar por que isso não contradiz o Lema Fundamental de Cálculo de Variáveis Reais.

Passo 2

Para a continuidade em (0,0) basta verificar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0
Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, com r=raizx^2+y^2, temos para (x,y)neq(0,0):
f(x,y) =3x^2yx^2+y^2 =3r^2cos^2theta,(rsintheta)r^2 =3rcos^2thetasintheta
Logo
l|f(x,y)r| <=3rl|cos^2thetasinthetar|<=3r,
e como rto0 implica 3rto0, conclui-se que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0),
ou seja, f é contínua em (0,0).

Passo 3

Cálculo de fx(0,0) e fy(0,0) pelas quocientes de diferença:
fx(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
fy(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00-0k=0
Logo as derivadas parciais existem em (0,0) e valem zero.

Passo 4

Para (x,y)neq(0,0) usamos a regra do quociente sobre
N(x,y)=3x^2y e D(x,y)=x^2+y^2.
Temos
fx =Nx,D-N,DxD^2 =(6xy)(x^2+y^2)-3x^2y,(2x)(x^2+y^2)^2 =6x y,(x^2+y^2)-6x^3y(x^2+y^2)^2 =6x y^3(x^2+y^2)^2,
fy =Ny,D-N,DyD^2 =(3x^2)(x^2+y^2)-3x^2y,(2y)(x^2+y^2)^2 =3x^2(x^2+y^2)-6x^2y^2(x^2+y^2)^2 =3x^2(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2
Isso mostra que fx e fy existem em todo R^2.

Passo 5

Para ver que, por exemplo, fx não é contínua em (0,0), calculemos o limite ao longo da reta y=x:
fx(x,x) =6xcdot x^3(x^2+x^2)^2 =6x^4(2x^2)^2 =6x^44x^4 =32 (para xneq0)
Esse valor tende a 3/2 quando xto0, mas fx(0,0)=0. Logo
lim(x,y)to(0,0)fx(x,y)neq fx(0,0),
isto é, fx não é contínua em (0,0). O mesmo raciocínio vale para fy.

Passo 6

Para verificar que f não é diferenciável em (0,0) consideramos a definição: se fosse diferenciável, haveria uma forma linear L(x,y)=fx(0,0)x+fy(0,0)y=0 tal que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2 =lim(x,y)to(0,0)f(x,y)raizx^2+y^2
fosse zero. Mas em polares
f(x,y)raizx^2+y^2 =3rcos^2thetasinthetar =3cos^2thetasintheta,
que depende de theta e não tende a um único valor. Logo o limite não existe e f não é diferenciável em (0,0).

Passo 7

Isso não contradiz o Lema Fundamental (ou teorema das derivadas parciais contínuas implicam diferenciabilidade), pois esse resultado dá apenas uma condição suficiente (continuidade de fx e fy em torno do ponto) para diferenciabilidade, mas não é condição necessária. Aqui temos parciais existentes e descontínuas, e realmente f não é diferenciável.

Resposta

(a) f é contínua em (0,0).
(b) fx e fy existem em todo R^2, mas não são contínuas em (0,0).
(c) f não é diferenciável em (0,0). Isso não contradiz o Lema Fundamental porque a continuidade das derivadas parciais é apenas uma condição suficiente, não necessária, para diferenciabilidade.

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