Use as regras de derivação para derivar cada função.
f(x)=\operatorname{sen}\left(\sqrt[7]{\cos \left(x^{2}\right)+4}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=senl(raiz[7]cos(x^2)+4r)
Isso envolve funções compostas: primeiro a trigonométrica sen(u) e depois a raíz de índice 7 como potência u^1/7, além de cos(x^2). Vamos usar a regra da cadeia repetidamente.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia à parte externa sen(u). Se u(x)=raiz[7]cos(x^2)+4, então
f'(x) =cosl(u(x)r),cdot,u'(x) =cosl(raiz[7]cos(x^2)+4r),cdot,ddx!l(raiz[7]cos(x^2)+4r)

Passo 3

Agora derivamos
raiz[7]cos(x^2)+4=(cos(x^2)+4)^1/7.
Pela regra da potência e da cadeia:
ddxl(cos(x^2)+4r)^1/7 =17,(cos(x^2)+4)^-6/7 cdotddxl(cos(x^2)+4r)
E
ddxl(cos(x^2)+4r) =-sen(x^2)cdot 2x

Passo 4

Juntando tudo:
f'(x) =cosl(raiz[7]cos(x^2)+4r) ;cdot;17(cos(x^2)+4)^-6/7 ;cdot;(-2xsen(x^2))
Simplificando o sinal e agrupando:
f'(x) =-2x,sen(x^2),cosl((cos(x^2)+4)^1/7r) 7,(cos(x^2)+4)^6/7

Resposta

f'(x) =-2x,sen(x^2),cosl((cos(x^2)+4)^1/7r) 7,(cos(x^2)+4)^6/7

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