Questāo 3 (2.5 pts)
Lise o teste dai raiz para determinar o intervalo de convergencia de
sumk=2^infty x^k(ln (k))^k

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
sumk=2^infty x^kl(ln(k)r)^k
e pede o intervalo de convergência. O conteúdo que vamos usar é o teste da raiz para séries, que diz: seja ak o termo geral; então, se
L = limsupktoinfty raiz[k]l|akr|,
então a série converge se L<1 e diverge se L>1.

Passo 2

Identificamos o termo geral da nossa série como
ak = x^kl(ln(k)r)^k
Aplicando o teste da raiz, calculamos
raiz[k]l|akr| = raiz[k]|x|^k(ln(k))^k = |x|ln(k)

Passo 3

Agora avaliamos o limite superior quando ktoinfty:
L = limktoinfty |x|ln(k)
Como ln(k)toinfty, segue que
L = 0
para todo valor finito de x.

Passo 4

Como L=0<1 para qualquer xinR, a série converge absolutamente em todo R. Isso significa que o raio de convergência é infinito.

Resposta

O intervalo de convergência é (-infty,infty).

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