Calcule a integral de linha do campo F(x, y)=(2 x+y) i+(2 y+x) j ao longo do caminho C dado:
Pela circunferência x^2+y^2=5

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha fechada ointCFcdot dr para o campo F(x,y)=(2x+y)i+(2y+x)j ao longo da circunferência x^2+y^2=5. O conteúdo envolvido é integral de linha de campo vetorial em curva fechada; aqui vamos usar o Teorema de Green.

Passo 2

O Teorema de Green afirma que, para P(x,y)=2x+y e Q(x,y)=2y+x, temos
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA,
onde D é o disco interior à circunferência x^2+y^2=5.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x(2y + x) = 1, partial Ppartial y = partialpartial y(2x + y) = 1
Logo
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - 1 = 0

Passo 4

Como o integrando no Teorema de Green é zero, a integral dupla sobre D é
integral duplaD 0,dA = 0,
portanto a integral de linha original também vale zero.

Resposta

0

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