Calcule a integral de linha do campo \vec{F}(x, y)=\left(2 x y, y^{2}+x\right) ao longo da curva \gamma(t)= \left(t, t^{2}\right) para 0 \leq t \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha do campo
\vec{F}(x,y) = (2xy,\;y^2 + x)
ao longo da curva \gamma(t) = (t,\,t^2), para 0\le t\le2.
O conteúdo é integral de linha de campo vetorial: vamos parametrizar a curva, calcular \vec{r}'(t), avaliar \vec{F} na parametrização, fazer o produto escalar \vec{F}(\gamma(t))\cdot\vec{r}'(t) e integrar de 0 a 2.

Passo 2

Primeiro parametrizamos:
\vec{r}(t) = (x(t),y(t)) = (t,\,t^2), \qquad \vec{r}'(t) = (1,\,2t).
Em seguida avaliamos o campo na curva:
\vec{F}(\vec{r}(t)) = \bigl(2\,x(t)\,y(t),\,y(t)^2 + x(t)\bigr) = \bigl(2t\cdot t^2,\;t^4 + t\bigr) = (2t^3,\;t^4 + t).

Passo 3

O integrando é o produto escalar
\vec{F}(\vec{r}(t))\;\cdot\;\vec{r}'(t) = 2t^3\cdot1 \;+\;(t^4 + t)\cdot2t = 2t^3 + 2t^5 + 2t^2.
Logo a integral de linha é
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec r = \int_{0}^{2}\bigl(2t^5 + 2t^3 + 2t^2\bigr)\,dt.
Calculando termo a termo:
\int_{0}^{2}2t^5\,dt = \left.\frac{2t^6}{6}\right|_0^2 = \frac{64}{3},\quad \int_{0}^{2}2t^3\,dt = \left.\frac{2t^4}{4}\right|_0^2 = 8,\quad \int_{0}^{2}2t^2\,dt = \left.\frac{2t^3}{3}\right|_0^2 = \frac{16}{3}.
Somando:
\frac{64}{3} + 8 + \frac{16}{3} = \frac{64+16}{3} + \frac{24}{3} = \frac{80 + 24}{3} = \frac{104}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{104}{3}

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