Exercício 2: Calcule as integrais em cada caso.
\iint_{S} F. d S, onde F(x, y, z)=3 y^{2} z^{3} \vec{\imath}+9 x^{2} y z^{2} \vec{\jmath}-4 x y^{2} \vec{k} e S é fronteira do sólido limitado por x=-1, x=1, y=-1, y=1, z=-1 e z=1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}F\cdot dS
onde F(x,y,z)=3y^{2}z^{3}\,\vec\imath+9x^{2}yz^{2}\,\vec\jmath-4xy^{2}\,\vec k e S é a superfície fechada do cubo definido por -1\le x,y,z\le1. O conteúdo usado será o Teorema da Divergência de Gauss, que transforma esse fluxo em uma integral tripla do divergente de F sobre o volume V do cubo.

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência de Gauss temos
\iint_{S}F\cdot dS \;=\;\iiint_{V}\nabla\cdot F\;dV.

Passo 3

Calculamos o divergente de F:
\nabla\cdot F =\frac{\partial}{\partial x}(3y^{2}z^{3}) +\frac{\partial}{\partial y}(9x^{2}yz^{2}) +\frac{\partial}{\partial z}(-4xy^{2}) =0+9x^{2}z^{2}+0 =9x^{2}z^{2}.

Passo 4

Agora avaliamos
\iiint_{V}9x^{2}z^{2}\,dV =9\int_{-1}^{1}\!\int_{-1}^{1}\!\int_{-1}^{1}x^{2}z^{2}\,dx\,dy\,dz.
Como as variáveis se separam:
\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx=\frac{2}{3},\quad \int_{-1}^{1}z^{2}\,dz=\frac{2}{3},\quad \int_{-1}^{1}dy=2.
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\iiint_{V}9x^{2}z^{2}\,dV =9\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot2 =8.

Resposta

8

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