Calcule os limites das sequências.
\lim \frac{3 n^{4}-5 n+n}{\sqrt{2 n^{8}+7 n^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede
L = \lim_{n\to\infty} \frac{3n^{4}-5n+n}{\sqrt{2n^{8}+7n^{2}}}.
O conteúdo aqui é cálculo de limite de sequência envolvendo polinômio no numerador e raiz quadrada de polinômio no denominador. Vamos usar fatoração do maior termo para isolar a contribuição dominante.

Passo 2

Primeiro simplificamos o numerador combinando os termos em n:
3n^{4}-5n+n = 3n^{4}-4n.

Passo 3

No denominador, extraímos n^{8} de dentro da raiz:
\sqrt{2n^{8}+7n^{2}} = \sqrt{n^{8}\,\bigl(2 + 7n^{-6}\bigr)} = n^{4}\,\sqrt{2 + 7n^{-6}}.
Assim a sequência vira
a_{n} = \frac{3n^{4}-4n}{n^{4}\,\sqrt{2 + 7n^{-6}}}.

Passo 4

Dividimos numerador e denominador por n^{4}:
a_{n} = \frac{3 - 4n^{-3}}{\sqrt{2 + 7n^{-6}}}.

Passo 5

Tomando limite quando n\to\infty, os termos n^{-3} e n^{-6} vão a zero:
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \frac{3 - 0}{\sqrt{2 + 0}} = \frac{3}{\sqrt{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}

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