Resolva o problema de valor inicial.
\left\{\begin{array}{l} \left(3 y-6 x^{2} y^{2}\right)+\left(3 x-4 x^{3} y+4\right) y^{\prime}=0 \\\ y(1)=2 \end{array}\right.

Passo 1

Estamos diante de um problema de valor inicial para uma equação diferencial de primeira ordem no formato
M(x,y)+N(x,y)\,y'=0,
onde
M(x,y)=3y-6x^2y^2, \quad N(x,y)=3x-4x^3y+4,
e a condição y(1)=2.
O conteúdo aqui é reconhecer que a equação é exata e, em seguida, encontrar a função potencial cujo nível constante fornece a solução.

Passo 2

Verificamos se a equação é exata, comparando as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} =3-12x^2y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =3-12x^2y.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos uma função F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y) \quad\text{e}\quad \frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y).
Integramos M em relação a x:
F(x,y) =\int\bigl(3y-6x^2y^2\bigr)\,dx =3xy-2x^3y^2+h(y),
onde h(y) é função a determinar.
Calculamos então \partial F/\partial y e igualamos a N(x,y):
\frac{\partial F}{\partial y} =3x-4x^3y+h'(y) \stackrel{!}{=}3x-4x^3y+4 \;\Longrightarrow\; h'(y)=4 \;\Longrightarrow\; h(y)=4y.
Logo, a função potencial é
F(x,y)=3xy-2x^3y^2+4y.

Passo 4

A solução geral implícita vem de
F(x,y)=C,
ou seja
3xy-2x^3y^2+4y=C.
Usamos a condição inicial y(1)=2 para encontrar C:
3\cdot1\cdot2-2\cdot1^3\cdot2^2+4\cdot2 =6-8+8=6,
portanto C=6. A solução implícita final é
3xy-2x^3y^2+4y=6.

Passo 5

Se quisermos expressar y de forma explícita, notamos que a equação é quadrática em y:
-2x^3y^2+(3x+4)y-6=0 \;\Longrightarrow\; 2x^3y^2-(3x+4)y+6=0.
Pela fórmula de Bhaskara,
y(x) =\frac{(3x+4)\pm\sqrt{(3x+4)^2-4\cdot2x^3\cdot6}}{2\cdot2x^3} =\frac{3x+4\pm\sqrt{9x^2+24x+16-48x^3}}{4x^3}.
Para x=1 temos discriminante 1 e as raízes \{2,\tfrac{3}{2}\}. Como y(1)=2, escolhemos o sinal “ +”. Logo
y(x) =\frac{3x+4+\sqrt{9x^2+24x+16-48x^3}}{4x^3}.

Resposta

A solução implícita é
3xy-2x^3y^2+4y=6,
e, isolando y no ramo que satisfaz y(1)=2,
y(x) =\frac{3x+4+\sqrt{9x^2+24x+16-48x^3}}{4x^3}.

Exercícios relacionados