Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Estamos diante de um problema de valor inicial para uma equação diferencial de primeira ordem no formato
onde
e a condição
.
O conteúdo aqui é reconhecer que a equação é exata e, em seguida, encontrar a função potencial cujo nível constante fornece a solução.
O conteúdo aqui é reconhecer que a equação é exata e, em seguida, encontrar a função potencial cujo nível constante fornece a solução.
Passo 2
Verificamos se a equação é exata, comparando as derivadas parciais
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Buscamos uma função
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Calculamos então e igualamos a
:
Calculamos então
Logo, a função potencial é
Passo 4
A solução geral implícita vem de
ou seja
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
portanto
. A solução implícita final é
Passo 5
Se quisermos expressar
de forma explícita, notamos que a equação é quadrática em
:
Pela fórmula de Bhaskara,
Para
temos discriminante
e as raízes
. Como
, escolhemos o sinal “
”. Logo
Resposta
A solução implícita é
e, isolando
no ramo que satisfaz
,