Exercício 4: Calcule:
o fluxo de F através de S, sendo S a superfície de equação 15 x^{2}+3 y^{2}+2 z^{2}=30 e F é dado por F(x, y, z)=\left(-z x-x, y z, z+\operatorname{sen}\left(x y^{2}\right)\right).

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(-xz - x,\;yz,\;z+\operatorname{sen}(xy^2)\bigr) através da superfície fechada
S:\;15x^2 + 3y^2 + 2z^2 = 30.
Como S é uma superfície fechada que limita um volume V, vamos usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), que diz
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS \;=\;\iiint_{V} \nabla\!\cdot\!\mathbf{F}\;dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \mathbf{F}. Por definição,
\nabla\!\cdot\!\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(-xz - x) +\frac{\partial}{\partial y}(yz) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(z+\operatorname{sen}(xy^2)\bigr).
Vamos derivar termo a termo:
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(-xz - x) = -z - 1,
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(yz) = z,
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}\bigl(z+\operatorname{sen}(xy^2)\bigr) = 1.

Passo 3

Somando esses resultados, obtemos
\nabla\!\cdot\!\mathbf{F} = (-z - 1) + z + 1 = 0.
Logo, a divergência de \mathbf{F} é identicamente zero em todo o volume.

Passo 4

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de \mathbf{F} através de S é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{V}\nabla\!\cdot\!\mathbf{F}\,dV =\iiint_{V}0\,dV =0.

Resposta

O fluxo de \mathbf{F} através de S é 0.

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