Calcule a integral de linha do campo vetorial
F(x, y)=-y i+x j
ao longo do caminho C dado:
Pelo trecho do gráfico da hipérbole x y=4 que une os pontos (4,1) a (2,2) nesse sentido.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha do campo vetorial
F(x,y)= -y,i+x,j
ao longo do trecho da hipérbole xy=4 que vai de (4,1) a (2,2).
Esse tipo de problema usa a definição
integralC Fcdot dr =integrala^b l[P(x(t),y(t)),x'(t)+Q(x(t),y(t)),y'(t)r],dt,
onde F=(P,Q) e r(t)=(x(t),y(t)) é uma parametrização de C.

Passo 2

Escolhemos como parâmetro t o valor de x. Pela hipérbole xy=4 vem
x(t)=t, y(t)=4t,
e, como queremos ir de (4,1) a (2,2), fazemos
tcolon 4longrightarrow 2

Passo 3

Calculamos dr=(dx,dy)=(dt,,-4/t^2,dt) e avaliamos
P(x,y)=-y=-4t, Q(x,y)=x=t
Logo,
Fcdot dr =P,dx+Q,dy =-4t,dt + tl(-4t^2,dtr) =-4t,dt-4t,dt =-8t,dt

Passo 4

Agora integramos de t=4 a t=2:
integralC Fcdot dr =integral4^2 l(-8tr),dt =-8integral4^2 1t,dt =-8l[ln tr]4^2 =-8l(ln 2-ln 4r) =-8(ln2-2ln2) =8ln2

Resposta

8ln2

Exercícios relacionados