Seja f(x, y, z)=x^3 y^5 z^7+x y^2+y^3 z. Determine:
fz y y

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=x^3y^5z^7+x,y^2+y^3z
e pede a derivada mista
fzyy=partial^3 fpartial y^2partial z
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais múltiplas, usando a linearidade e a regra de potência em cada variável.

Passo 2

Primeiro, derivamos f em relação a z, tratando x e y como constantes. Pela regra de potência:
partialpartial zl(x^3y^5z^7r) =7,x^3y^5z^6, partialpartial zl(x,y^2r)=0, partialpartial zl(y^3zr)=y^3
Logo,
fz=7,x^3y^5z^6+y^3

Passo 3

Agora derivamos fz em relação a y (primeiro y de dois):
partialpartial yl(7,x^3y^5z^6r) =7,x^3cdot5,y^4z^6=35,x^3y^4z^6, partialpartial yl(y^3r)=3,y^2
Portanto,
fzy=35,x^3y^4z^6+3,y^2

Passo 4

Finalmente, derivamos fzy em relação a y pela segunda vez:
partialpartial yl(35,x^3y^4z^6r) =35,x^3cdot4,y^3z^6=140,x^3y^3z^6, partialpartial yl(3,y^2r)=6,y
Logo,
fzyy=140,x^3y^3z^6+6,y

Resposta

fzyy(x,y,z)=140,x^3y^3z^6+6,y

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