Calcule a integral de linha do campo vetorial
F(x, y)=-y i+x j
ao longo do caminho C dado:
Pelo trecho do gráfico de y=x^2 que une os pontos (0,0) a (2,4) nesse sentido.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha do campo vetorial
F(x,y) = -,y,i + x,j
ao longo da curva C dada por y=x^2 de (0,0) até (2,4).
O conteúdo envolvido é a definição de integral de linha de um campo em R^2, que usamos parametrizando C e computando
integralC Fcdot dr ;=;integralt0^t1 F(r(t))cdot r'(t),dt

Passo 2

Parametrizamos C por
r(t) = l(t,,t^2r), 0 <= t <= 2,
de modo que
dr = r'(t),dt = (1,,2t),dt
Então
F(r(t)) = l(-t^2,;tr)
e o produto interno é
F(r(t))cdot dr = (-t^2)cdot 1 ;+; tcdot (2t) = -t^2 + 2t^2 = t^2,dt

Passo 3

Agora basta integrar em t de 0 a 2:
integralC Fcdot dr = integral0^2 t^2,dt = [t^33]0^2 = 83

Resposta

83

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