(0,3 pontos) Resolva a seguinte inequação: (3 x+6)(-x^2+2 x+3)>0.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente resolver a inequação
(3x+6),(-x^2+2x+3) > 0
Conteúdo: inequações com produto de polinômios. Precisamos fatorar cada parte, achar as raízes (pontos críticos) e depois montar um “mapa” de sinais pra ver onde o produto fica positivo.

Passo 2

First things first: vamos achar onde cada fator zera.
  1. 3x+6=0
3x = -6 Longrightarrow x = -2
  1. -x^2+2x+3=0. Multiplico por -1 só pra ficar mais claro:
x^2 - 2x - 3 = 0
Aí usa fórmula de Bhaskara ( ax^2+bx+c=0, x=-bpmraizb^2-4ac2a):
a=1,;b=-2,;c=-3 ;Longrightarrow; De<a = (-2)^2 - 4cdot1cdot(-3) = 4 + 12 =16,
x = -(-2)pmraiz162cdot1 = 2pm42 ;Longrightarrow; x = 3 ou x = -1
Então nossos pontos críticos são x=-2, x=-1 e x=3.

Passo 3

Agora vamos analisar o sinal de cada fator em cada intervalo. A ideia: o produto de dois fatores é positivo se os dois tiverem o mesmo sinal.
Os fatores são
f1(x) = 3x+6, f2(x) = -x^2+2x+3
  1. f_1(x) muda de sinal em x=-2:
    • Se x<-2, 3x+6<0.
    • Se x>-2, 3x+6>0.
  2. f_2(x) é uma parábola invertida ( -x^2 no começo) e zera em -1 e em 3. Logo:
    • Em x<-1, f_2(x)<0.
    • Em -1<x<3, f_2(x)>0 (entre as raízes).
    • Em x>3, f_2(x)<0.
Agora a tabela mental de sinais:
  • Intervalo (-infty,-2):
    f₁<0 e f₂<0 ⇒ produto >0.
  • Intervalo (-2,-1):
    f₁>0 e f₂<0 ⇒ produto <0.
  • Intervalo (-1,3):
    f₁>0 e f₂>0 ⇒ produto >0.
  • Intervalo (3,+infty):
    f₁>0 e f₂<0 ⇒ produto <0.

Passo 4

Como a inequação é “>0” (estritamente maior que zero), a gente seleciona os intervalos onde o produto é positivo e exclui os pontos em que o produto fica zero.
Ficamos com
(-infty, -2)cup(-1, 3)

Resposta

(-infty, -2),cup,(-1, 3).

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