(0,3 pontos) Calcule o valor de S=2 log 8 ^log 13 ^1243-log 6 log 8 256+4 log 3 log 625^25.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente calcular
S ;=; 2,log8!l(logtfrac13tfrac1243;-;log6l(log8256r)r) ;+; 4,log3l(log62525r)
O assunto é função logarítmica: a definição básica loga b=c se e somente se a^c=b, mudança de base
loga b=ln bln a, e propriedades de potência dentro do log.

Passo 2

Vamos à primeira pedrada:
logtfrac13!tfrac1243
Como tfrac13=3^-1 e tfrac1243=3^-5, a gente tem
log3^-1(3^-5) ;=; -5-1 ;=; 5

Passo 3

Agora log8256. Note que 8=2^3 e 256=2^8, logo
log8256 ;=; 83

Passo 4

Precisamos de log6l(log8256r)=log6!l(tfrac83r).
Pela mudança de base:
log6!l(tfrac83r) ;=; ln!l(tfrac83r)ln6

Passo 5

O que cai dentro do log8 do primeiro termo é
5 ;-;lnl(tfrac83r)ln6

Passo 6

Então
log8l(5 - ln(tfrac83)ln6r) ;=; ln!l(5 - ln(tfrac83)ln6r)ln8

Passo 7

Multiplicando por 2 (aquele “2 ⋅ log₈”):
2,log8l(5 - tfracln(tfrac83)ln6r) ;=; 2,ln!l(5 - tfracln(tfrac83)ln6r)ln8

Passo 8

Agora a segunda parcela:
log62525
Como 625=5^4 e 25=5^2,
log5^4(5^2) ;=; 24 ;=; 12

Passo 9

Em seguida log3l(tfrac12r). Usa a propriedade
log3(1/2)=-log32.

Passo 10

Multiplicando por 4 (o “4 ⋅ log₃”):
4,log3l(tfrac12r) ;=; 4,l(-log32r) ;=; -4,log32

Passo 11

Juntando tudo:
S ;=; underbrace2,ln!l(5 - ln(tfrac83)ln6r)ln8primeiro termo ;+; underbracel(-4,log32r)segundo termo

Resposta

boxedS ;=;2,ln!l(5 - ln(tfrac83)ln6r)ln8;-;4,log32

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