Calcule a integral de linha do campo vetorial
F(x, y)=-y i+x j
ao longo do caminho C dado:
Pelo triângulo de vértices (1,0),(2,0) e (1,2), percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

Temos um campo vetorial F(x,y) = -y,i + x,j e queremos calcular a integral de linha fechada ointC Fcdot dr ao longo do triângulo com vértices (1,0), (2,0) e (1,2), percorrido em sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green.

Passo 2

O Teorema de Green afirma que, para P(x,y) e Q(x,y) contínuas em D e C=partial D percorrido positivamente, vale
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr) ,dA
Aqui identificamos P(x,y) = -y e Q(x,y) = x.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais
partial Qpartial x = partial xpartial x = 1, partial Ppartial y = partial (-y)partial y = -1
Então o integrando de Green é
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - (-1) = 2

Passo 4

Agora precisamos da área do triângulo de vértices (1,0), (2,0) e (1,2). A base no eixo x tem comprimento
2 - 1 = 1
e a altura (distância vertical) é 2. Logo a área é
área(D) = base times a<ura2 = 1 times 22 = 1 á

Passo 5

Finalmente, aplicando o Teorema de Green, a integral de linha vale
ointC Fcdot dr = integral duplaD 2 ,dA = 2 times área(D) = 2 times 1 = 2 á

Resposta

2

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