Calcule a integral de linha do campo vetorial F(x, y)=(x^2-2 x y, x^3+y) de (0,0) a (1,1) ao longo das seguintes curvas:
(c) A curva C3 de equações paramétricas x=t, y=t^3 / 2, 0 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha do campo vetorial F(x,y)=(x^2-2xy,;x^3+y) de (0,0) a (1,1) ao longo da curva C3 dada por
;x=t,;y=t^3/2,;0<= t<=1.
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial em parametrização: vamos parametrizar, calcular dx e dy, montar o produto escalar Fcdot dr e integrar de 0 a 1.

Passo 2

Parametrizamos a curva por r(t)=(t,;t^3/2). Então
drdt =l(dxdt,,dydtr) =l(1,;tfrac32t^1/2r)

Passo 3

Pela definição,
integralC3Fcdot dr =integral0^1l[Pl(t,t^3/2r),dxdt +Ql(t,t^3/2r),dydtr]dt,
onde
Pl(t,t^3/2r)=t^2-2,tcdot t^3/2=t^2-2t^5/2, Ql(t,t^3/2r)=t^3+t^3/2

Passo 4

O integrando fica
t^2-2t^5/2 +32t^1/2l(t^3+t^3/2r) = t^2-2t^5/2+32l(t^7/2+t^2r) = 52t^2 -2t^5/2+32t^7/2

Passo 5

Integramos termo a termo de 0 a 1:
integral0^152t^2,dt =52cdot13=56, integral0^1(-2)t^5/2,dt =-2cdot27=-47, integral0^132t^7/2,dt =32cdot29=13
Somando esses resultados,
56-47+13 =3542-2442+1442 =2542

Resposta

2542

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