Encontre a derivada da função. Simplifíque o resultado sempre que possível.
g(t)=ln (arctg(t^4))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
g(t)=lnl(arctg(t^4)r)
O conteúdo é aplicação da regra da cadeia em composições de funções: primeiro o logaritmo natural e depois a função arco-tangente.

Passo 2

Definimos
u(t)=arctg(t^4),
então g(t)=lnl(u(t)r). Pela regra da cadeia para logaritmo temos
g'(t)=u'(t)u(t)

Passo 3

Agora derivamos u(t)=arctg(v(t)) com v(t)=t^4. Sabemos que
ddtl(arctg(v)r)=v'1+v^2,
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v'(t)=4t^3 Longrightarrow u'(t)=4t^31+l(t^4r)^2 =4t^31+t^8

Passo 4

Substituindo u'(t) e u(t) em g'(t)=u'(t)/u(t), obtemos
g'(t) =4t^31+t^8 arctg(t^4) =4t^3l(1+t^8r),arctg(t^4)

Resposta

g'(t)=4t^3l(1+t^8r),arctg(t^4)

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