Encontre a derivada da função. Simplifíque o resultado sempre que possível.
y=tg^-1(xa)+ln raizx-ax+a

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = tg^-1!l(tfracxar) ;+;lnraizx - a,x + a,
ou seja, vamos usar as regras de derivação de tg^-1(u) e de logaritmo natural.

Passo 2

Derivando o primeiro termo tg^-1(x/a):
sabemos que
ddxl[tg^-1(u)r] = u'1+u^2
Aqui u(x)=x/a, logo u'=1/a. Assim
ddx!l[tg^-1!l(tfracxar)r] = tfrac1a1 + l(tfracxar)^2 = tfrac1atfraca^2 + x^2a^2 = aa^2 + x^2

Passo 3

Derivando o segundo termo lnraizx - ax + a:
primeiro note que
lnraizx - ax + a = tfrac12,ln!l(tfracx - ax + ar)
Então
ddxl[tfrac12ln!l(tfracx - ax + ar)r] = tfrac12;l(x-ax+ar)'x-ax+a
Calculamos
l(tfracx - ax + ar)' = (1)(x+a) - (x-a)(1)(x + a)^2 = 2a(x + a)^2
Logo
ddx![lnraiztfracx-ax+a] = tfrac12;2a(x+a)^2x-ax+a = a(x+a)(x-a) = ax^2 - a^2

Passo 4

Somando as duas partes temos
y' = aa^2 + x^2 + ax^2 - a^2
Para simplificar, usamos denominador comum (a^2 + x^2)(x^2 - a^2):
y' = a(x^2 - a^2) + a(a^2 + x^2)(a^2 + x^2)(x^2 - a^2) = 2a,x^2(a^2 + x^2)(x^2 - a^2) = 2a,x^2x^4 - a^4

Resposta

boxedy' = 2a,x^2x^4 - a^4

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