Encontre a derivada da função. Simplifíque o resultado sempre que possível.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
onde
.
O que precisamos é a derivada de em relação a cada coordenada de
, ou seja, o gradiente
. Vamos usar a regra da cadeia em várias variáveis e a derivada da função .
O que precisamos é a derivada de
Passo 2
Primeiro lembramos a derivada de em uma variável real:
Em particular, se estivermos no ramo onde
, podemos escrever sem o valor absoluto:
Passo 3
Agora aplicamos a regra da cadeia para obter a derivada parcial de
em relação a
. Como
temos
Passo 4
Como
depende apenas de
, suas derivadas parciais em relação a
são zero. Portanto o gradiente é
Resposta
Em particular, se assumirmos
, pode-se simplificar para