Calcule a integral de linha do campo vetorial F(x, y)=(x-2 x y) imath+(y-2 x y) jmath+x z k ao longo da união C=C1 cup C2 entre segmentos de reta, onde C1 é o segmento de reta que liga os pontos (1,0,1) e (-1,2,3) e C2 é o segmento de reta que liga os pontos (-1,2,3) e (4,2,5).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralCvec Fcdot dvec r
onde
vec F(x,y,z) = (x-2xy),hatimath + (y-2xy),hatjmath + (x z),hat k
e C = C1cup C2 é a união de dois segmentos retos:
C1 vai de (1,0,1) a (-1,2,3) e
C2 vai de (-1,2,3) a (4,2,5).
Para resolver, vamos parametrizar cada segmento, calcular vec F(vec r)cdot vec r' e integrar.

Passo 2

Parametrização de C1:
vec r1(t) = (1,0,1) + t,l((-1,2,3)-(1,0,1)r) = (1-2t,;2t,;1+2t), tin[0,1]
Então
vec r1'(t)=(-2,2,2)
Em vec r1(t) temos
x=1-2t, y=2t, z=1+2t
Logo
P=x-2xy=1-2t-2(1-2t)(2t)=1-6t+8t^2,
Q=y-2xy=2t-2(1-2t)(2t)=-2t+8t^2,
R=xz=(1-2t)(1+2t)=1-4t^2

Passo 3

O produto escalar
vec F(vec r1(t))cdot vec r1'(t) =(1-6t+8t^2)(-2)+(-2t+8t^2)(2)+(1-4t^2)(2) =8t-8t^2
Integramos de 0 a 1:
integral0^1(8t-8t^2),dt =l[4t^2-tfrac83t^3r]0^1 =4-tfrac83=tfrac43

Passo 4

Parametrização de C2:
vec r2(s)=(-1,2,3)+sl((4,2,5)-(-1,2,3)r) =(-1+5s,;2,;3+2s), sin[0,1],
vec r2'(s)=(5,0,2)
Em vec r2(s):
x=-1+5s,;y=2,;z=3+2s
Então
P=x-2xy=3-15s, Q=y-2xy=6-20s, R=xz=(-1+5s)(3+2s)=-3+13s+10s^2

Passo 5

Calculamos
vec F(vec r2(s))cdot vec r2'(s) =(3-15s),5+(6-20s),0+(-3+13s+10s^2),2 =9-49s+20s^2
Integramos de 0 a 1:
integral0^1(9-49s+20s^2),ds =l[9s-tfrac492s^2+tfrac203s^3r]0^1 =9-tfrac492+tfrac203 =-tfrac536

Passo 6

Somando as duas partes:
integralCvec Fcdot dvec r =integralC1vec Fcdot dvec r +integralC2vec Fcdot dvec r =tfrac43-tfrac536 =-tfrac152

Resposta

integralCvec Fcdot dvec r = -tfrac152

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