Seja Gamma a fronteira do quadrado [0,1] times[0,1], orientada no sentido positivo. Calcule
ointGamma(3 x^4+5) d x+(y^2+3 y^2-1) d y

Passo 1

O enunciado pede o valor de
ointGammaP,dx+Q,dy
onde Gamma é a fronteira do quadrado D=[0,1]times[0,1] orientada positivamente (no sentido anti-horário), com
P(x,y)=3x^4+5, Q(x,y)=y^2+3y^2-1=4y^2-1
O conteúdo necessário é o Teorema de Green, que converte a integral de linha num integral dupla sobre D.

Passo 2

O Teorema de Green diz que, para região D com fronteira Gamma orientada positivamente,
ointGammaP,dx+Q,dy=integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x=partialpartial x(4y^2-1)=0,
partial Ppartial y=partialpartial y(3x^4+5)=0

Passo 4

Logo, o integrando de Green é zero em todo D:
partial Qpartial x-partial Ppartial y=0-0=0
Portanto
integral duplaD0,dA=0

Resposta

0

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