Calcule a integral de linha do campo vetorial F=raizx2 i+2 j+k no percurso definido por x=2 y=z^2 do ponto (0,0,0) até o ponto (1,1 / 2,1).

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
integralCFcdot dr
onde F(x,y,z)=raizx2,i+2,j+k e C é o percurso definido pelas condições
x=2y=z^2,
indo de (0,0,0) até l(1,tfrac12,1r).
O conteúdo principal aqui é parametrizar a curva C, calcular dr, substituir em F e integrar o produto escalar.

Passo 2

Parametrizamos C usando z=t, para t variando de 0 a 1. Então
x=z^2=t^2, 2y=z^2implies y=t^22
Logo a parametrização é
r(t)=l(t^2,;tfract^22,;tr), 0<= t<=1

Passo 3

Calculamos o vetor diferencial
drdt=l(2t,;t,;1r),
e avaliamos F ao longo de r(t):
Fl(r(t)r) =l(raizt^22,,2,,1r) =l(t2,,2,,1r),
pois t>=0.

Passo 4

O integrando é o produto escalar
Fl(r(t)r)cdotdrdt =l(t2,,2,,1r)cdot(2t,;t,;1) =tcdot t +2t +1 =t^2+2t+1

Passo 5

Agora integramos de t=0 a t=1:
integralCFcdot dr =integral0^1l(t^2+2t+1r),dt =[t^33+t^2+t]0^1 =13+1+1 =73

Resposta

73

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