Encontre para as seguintes equações a diferença: onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença: y(k) - 4y(k-1) + 6y(k-2) = u(k) , onde u(k) = (14)^k para k >= 0 e u(k) = 0 para k < 0 . A matéria envolvida aqui é Equações de Diferença Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: y(k) - 4y(k-1) + 6y(k-2) = 0 . Para isso, assumimos que a solução tem a forma y(k) = r^k . Substituindo na equação, temos:
r^k - 4r^k-1 + 6r^k-2 = 0
Dividindo todos os termos por r^k-2 , obtemos a equação característica:
r^2 - 4r + 6 = 0
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica r^2 - 4r + 6 = 0 . Usando a fórmula de Bhaskara:
Os valores de r são complexos, 2 pm iraiz2 , o que significa que a solução geral da equação homogênea é:
yh(k) = (A cos(raiz2k) + B sin(raiz2k)) cdot 2^k
onde A e B são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular yp(k) para a equação completa. Como o termo forçante u(k) = (14)^k é uma função exponencial, tentamos uma solução da forma yp(k) = C (14)^k .