Encontre y(k) para as seguintes equações a diferença:
y(k)-4 y(k-1)+6 y(k-2)=u(k) onde u(k)=cc(14)^k, & k >= 0 0, & k<0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença: y(k) - 4y(k-1) + 6y(k-2) = u(k) , onde u(k) = (14)^k para k >= 0 e u(k) = 0 para k < 0 . A matéria envolvida aqui é Equações de Diferença Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: y(k) - 4y(k-1) + 6y(k-2) = 0 . Para isso, assumimos que a solução tem a forma y(k) = r^k . Substituindo na equação, temos:
r^k - 4r^k-1 + 6r^k-2 = 0
Dividindo todos os termos por r^k-2 , obtemos a equação característica:
r^2 - 4r + 6 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica r^2 - 4r + 6 = 0 . Usando a fórmula de Bhaskara:
r = 4 pm raiz16 - 242 = 4 pm raiz-82 = 2 pm iraiz2
Os valores de r são complexos, 2 pm iraiz2 , o que significa que a solução geral da equação homogênea é:
yh(k) = (A cos(raiz2k) + B sin(raiz2k)) cdot 2^k
onde A e B são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp(k) para a equação completa. Como o termo forçante u(k) = (14)^k é uma função exponencial, tentamos uma solução da forma yp(k) = C (14)^k .
Substituindo na equação original:
C (14)^k - 4C (14)^k-1 + 6C (14)^k-2 = (14)^k

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
C (14)^k - 4C cdot 4 (14)^k + 6C cdot 16 (14)^k = (14)^k
C - 16C + 96C = 1
81C = 1
C = 181
Então, a solução particular é:
yp(k) = 181 (14)^k

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(k) = yh(k) + yp(k)
y(k) = (A cos(raiz2k) + B sin(raiz2k)) cdot 2^k + 181 (14)^k

Resposta

A solução geral da equação de diferença é:
y(k) = [A cos(raiz2k) + B sin(raiz2k)] cdot 2^k + 181 (14)^k

Exercícios relacionados