Encontre y(k) para as seguintes equações a diferença:
y(k)-23 y(k-1)+19 y(k-2)=u(k)=cc(1)^k, & k >= 0 0, & k<0 condições iniciais nulas

Passo 1

O enunciado pede a resposta do sistema linear a diferenças
y(k)-tfrac23,y(k-1)+tfrac19,y(k-2)=u(k),
onde
u(k)=1^k=1,&k>=0,0,&k<0,
com condições iniciais nulas y(-1)=y(-2)=0.
Conteúdo: resolver recurrences lineares de segunda ordem por soma da solução homogênea e particular.

Passo 2

Determinamos a solução homogênea ;yh(k).
A equação característica é
r^2-tfrac23r+tfrac19=0 ;Longrightarrow;(r-tfrac13)^2=0,
raiz dupla r=1/3. Logo
yh(k)=C1l(tfrac13r)^k+C2,kl(tfrac13r)^k

Passo 3

Procuramos uma solução particular constante ;yp(k)=A.
Substituindo na equação de diferenças para k>=0 e u(k)=1:
A-tfrac23A+tfrac19A =Al(1-tfrac23+tfrac19r) =Acdottfrac49=1 Longrightarrow A=tfrac94

Passo 4

A solução geral é
y(k)=yh(k)+yp(k) =C1l(tfrac13r)^k +C2,kl(tfrac13r)^k +tfrac94
Usamos as condições iniciais efetivas em k=0 e k=1 obtidas da própria equação:
para k=0:
y(0)-tfrac23,y(-1)+tfrac19,y(-2)=1 ;Longrightarrow;y(0)=1
para k=1:
y(1)-tfrac23,y(0)+tfrac19,y(-1)=1 ;Longrightarrow;y(1)-tfrac23cdot1=1 ;Longrightarrow;y(1)=tfrac53

Passo 5

Impondo y(0)=1 e y(1)=5/3 em
y(0)=C1+tfrac94=1 Longrightarrow C1=-tfrac54,
y(1)=(C1+C2),tfrac13+tfrac94=tfrac53 LongrightarrowC1+C23=53-94=-712 ;Longrightarrow;C1+C2=-tfrac74
logo C2=-tfrac74-(-tfrac54)=-tfrac12

Passo 6

Substituindo C1 e C2 obtemos, para k>=0,
y(k) =-tfrac54l(tfrac13r)^k -tfrac12,kl(tfrac13r)^k +tfrac94 =tfrac94-tfrac5+2k4l(tfrac13r)^k
Para k<0, y(k)=0 (condição causal e iniciais nulas).

Resposta

y(k)= dfrac94-dfrac5+2k4l(tfrac13r)^k,&k>=0, 0,&k<0

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