Encontre
para as seguintes equações a diferença:
condições iniciais nulas
Passo 1
O enunciado pede a resposta do sistema linear a diferenças
onde
com condições iniciais nulas
y(-1)=y(-2)=0 .
Conteúdo: resolver recurrences lineares de segunda ordem por soma da solução homogênea e particular.
Conteúdo: resolver recurrences lineares de segunda ordem por soma da solução homogênea e particular.
Passo 2
Determinamos a solução homogênea
;yh(k) .
A equação característica é
A equação característica é
raiz dupla
r=1/3 . Logo
Passo 3
Procuramos uma solução particular constante
;yp(k)=A .
Substituindo na equação de diferenças parak>=0 e
u(k)=1 :
Substituindo na equação de diferenças para
Passo 4
A solução geral é
Usamos as condições iniciais efetivas em
k=0 e
k=1 obtidas da própria equação:
parak=0 :
para
para
k=1 :
Passo 5
Impondo
y(0)=1 e
y(1)=5/3 em
logo
C2=-tfrac74-(-tfrac54)=-tfrac12
Passo 6
Substituindo
C1 e
C2 obtemos, para
k>=0 ,
Para
k<0 ,
y(k)=0 (condição causal e iniciais nulas).