Calcule a integral de linha do campo vetorial sobre a trajetória partindo da origem do plano ao longo do eixo x até o ponto ( 1,0 ), em seguida ao longo de um segmento de reta até , e então de volta à origem ao longo do eixo y.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo vetorial onde precisamos calcular a integral de linha de um campo vetorial . A trajetória é um caminho fechado no plano: começamos na origem , vamos até ao longo do eixo , depois para em linha reta, e finalmente de volta à origem pelo eixo .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integrais de linha, que envolvem calcular a soma dos efeitos do campo vetorial ao longo de cada trecho do caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos quebrar o caminho em três segmentos:
Segmento 1: Da origem até ao longo do eixo .
Segmento 2: De até em linha reta.
Segmento 3: De de volta à origem ao longo do eixo .
Vamos calcular a integral de linha em cada segmento separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Segmento 1: De a ao longo do eixo .
Para esse trecho, sempre, e varia de 0 a 1. Podemos parametrizar essa trajetória como:
O vetor diferencial é:
Agora, substituímos e no campo vetorial :
A integral de linha no segmento 1 é:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Seja , então ou .
Substituindo:
Voltando para :
Sabendo que sec 0 = 1 e tan 0 = 0 :
12 ln (sec 1 + tan 1) - 12 ln 1 = 12 ln (sec 1 + tan 1)
Passo 4
Segmento 2: De (1,0) a (0,1) em linha reta.
Aqui, precisamos parametrizar uma linha reta entre esses dois pontos. Uma forma simples de fazer isso é usar um parâmetro t que varia de 0 a 1 e define a posição ao longo da linha.
A parametrização fica:
r2(t) = (1 - t, t), t in [0, 1]
O vetor diferencial dr2 é:
dr2 = (-dt, dt)
Agora, substituímos x = 1 - t e y = t no campo vetorial F :
Essa integral pode ser complicada para resolver analiticamente devido ao termo sec (1 - t)^2 , então provavelmente precisaríamos de métodos numéricos ou simplificações adicionais. Para fins de didática, podemos deixar ela nesse formato ou considerar uma aproximação.
Passo 5
Segmento 3: De (0,1) de volta à origem (0,0) ao longo do eixo y.
Nesse trecho, x = 0 sempre, e y varia de 1 a 0. Vamos parametrizar essa trajetória como:
r3(t) = (0, 1 - t), t in [0, 1]
O vetor diferencial dr3 é:
dr3 = (0, -dt)
Substituímos x = 0 e y = 1 - t no campo vetorial F :
integral0^1 e^2u (-du) = integral1^0 e^2u du = integral0^1 e^2u du = 12 e^2u |0^1 = 12 (e^2 - 1)
Passo 6
Agora, vamos somar as integrais de cada segmento para obter a integral de linha total:
Integral Total = 12 ln (sec 1 + tan 1) + Integral Segmento 2 + 12 (e^2 - 1)
A parte complicada aqui é a Integral Segmento 2, que envolve sec (1 - t)^2 . Sem uma expressão mais simples ou métodos numéricos, podemos deixar a resposta nessa forma ou utilizar uma aproximação numérica para calcular esse valor.
Resposta
A integral de linha do campo vetorial F(x, y) ao longo da trajetória especificada é:
12 ln (sec 1 + tan 1) + Integral Segmento 2 + 12 (e^2 - 1)
Para obter o valor numérico final, especialmente devido à complexidade da integral no Segmento 2, seria necessário utilizar métodos numéricos ou ferramentas computacionais.