Considere o campo vetorial
. Sendo
a curva dada por
, calcule a integral de linha
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos um campo vetorial dado por:
E uma curva
parametrizada por:
Nosso objetivo é calcular a integral de linha:
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de parametrização de curvas, cálculo de derivadas vetoriais e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. A parametrização nos dá as funções
e
que descrevem a posição na curva para cada valor de
. A partir de
, temos:
Passo 3
Em seguida, precisamos calcular a derivada vetorial
, que representa o vetor tangente à curva
no ponto
. Derivando
e
em relação a
:
Portanto, a derivada vetorial é:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na função do campo vetorial
para obter
:
Passo 5
Com
e
expressos, podemos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, a integral de linha fica:
Isso significa que precisamos integrar a expressão obtida no Passo 5 em relação a
de
a
.
Passo 7
Para resolver a integral, podemos simplificar cada termo individualmente antes de integrar. Devido à complexidade das funções envolvidas, podemos usar métodos de integração numérica ou verificar se há simplificações que permitam uma integração analítica.
No entanto, observando a estrutura do campo vetorial
e da curva
, percebemos que o campo pode ser conservativo, ou seja, existir uma função potencial
tal que
. Se for o caso, a integral de linha depende apenas dos valores de
nos pontos final e inicial da curva, simplificando muito nossos cálculos.
Passo 8
Vamos verificar se
é um campo conservativo. Para
ser conservativo, deve satisfazer:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 9
Sendo
conservativo, existe uma função potencial
tal que:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Calculando a integral:
Onde
é uma função que depende apenas de
. Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando termos, vemos que:
Isso implica que:
No entanto, para que
dependa apenas de
, o termo com
deve ser zero, o que implica que
. Portanto, consideramos
, que resulta em:
Portanto, a função potencial é:
Passo 10
Com a função potencial
encontrada, a integral de linha
pode ser calculada simplesmente encontrando a diferença de
nos pontos final e inicial da curva
.
Os pontos são obtidos substituindo os valores de
:
- Quando
:
- Quando
:
Passo 11
Calculamos
nos pontos inicial
e final
:
Para
:
Para
:
Simplificando:
Passo 12
Finalmente, a integral de linha é a diferença entre
no ponto final e no ponto inicial:
Resposta
A integral de linha é igual a: