Calcule
onde
e C é curva que parte da origem do plano ao longo do eixo x até o ponto ( 2,0 ), em seguida ao longo de um segmento de reta até (2,3), depois ao longo de um segmento de reta até o ponto ( 0,3 ), e por fim de volta à origem ao longo do eixo y.
Passo 1
Beleza, vamos nessa! A gente tem que calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
é dado por
. A curva
começa na origem, vai até
pelo eixo x, depois até
, volta para
e retorna à origem pelo eixo y. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que, para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
delimitada por
de
. Em fórmula:
Passo 3
Vamos identificar as funções
e
do nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região
. Como
forma um retângulo com vértices em
,
,
e
, os limites são de
a
e de
a
.
Passo 5
Vamos calcular a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral interna fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral
é 6.