Calcule integralC F cdot d r onde F(x, y)=(x y^2+tan x^2) imath+(x^3+y cos y^3) jmath e C é curva que parte da origem do plano ao longo do eixo x até o ponto ( 2,0 ), em seguida ao longo de um segmento de reta até (2,3), depois ao longo de um segmento de reta até o ponto ( 0,3 ), e por fim de volta à origem ao longo do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos nessa! A gente tem que calcular a integral de linha integralC F cdot dr, onde o campo vetorial F(x, y) é dado por (x y^2+tan x^2) imath+(x^3+y cos y^3) jmath. A curva C começa na origem, vai até (2,0) pelo eixo x, depois até (2,3), volta para (0,3) e retorna à origem pelo eixo y. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que, para um campo vetorial F = Pimath + Qjmath, a integral de linha ao redor de uma curva fechada C é igual à integral dupla sobre a região D delimitada por C de partial Qpartial x - partial Ppartial y. Em fórmula:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy

Passo 3

Vamos identificar as funções P e Q do nosso campo vetorial:
P(x, y) = x y^2 + tan x^2
Q(x, y) = x^3 + y cos y^3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x ( x^3 + y cos y^3 ) = 3x^2
partial Ppartial y = partialpartial y ( x y^2 + tan x^2 ) = 2x y

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( 3x^2 - 2x y ) dx,dy
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região D. Como C forma um retângulo com vértices em (0,0), (2,0), (2,3) e (0,3), os limites são de x = 0 a x = 2 e de y = 0 a y = 3.

Passo 5

Vamos calcular a integral dupla:
integral duplaD ( 3x^2 - 2x y ) dx,dy = integraly=0^3 integralx=0^2 ( 3x^2 - 2x y ) dx,dy
Primeiro, integramos em relação a x:
integralx=0^2 3x^2 dx = [ x^3 ]0^2 = 8
integralx=0^2 -2x y dx = -2y [ x^22 ]0^2 = -2y (2) = -4y
Então, a integral interna fica:
8 - 4y

Passo 6

Agora, integramos em relação a y:
integraly=0^3 (8 - 4y) dy = [ 8y - 2y^2 ]0^3 = (24 - 18) - (0 - 0) = 6

Resposta

O valor da integral integralC F cdot dr é 6.

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