Sendo a, b in R, tais que a>0 e b>0,e F(x, y)=(x^4, x y),(x, y) in R^2, calcule integralC F cdot d r é o caminho poligonal constituído pelos segmentos de reta de (0,0) a (a, 0), de (a, 0) a (0, b) e de (0, b) a (0,0).

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
integralCFcdot d r
onde F(x,y)=(x^4,,x y) e C é o polígono feito pelos segmentos de reta:
  1. de (0,0) a (a,0),
  2. de (a,0) a (0,b),
  3. de (0,b) a (0,0).
    Vamos parametrizar cada segmento, calcular integral Fcdot dr em cada um e somar.

Passo 2

Segmento 1: de (0,0) a (a,0).
Parametrização:
x=t, y=0, tin[0,a]
Então
dr=(dt,,0), F(x,y)=(t^4,,tcdot0)=(t^4,0)
O integrando é
Fcdot dr = t^4,dt,
e
integral0^at^4,dt = a^55

Passo 3

Segmento 2: de (a,0) a (0,b).
Parametrização:
x=a(1-s), y=b,s, sin[0,1]
Logo
dx=-a,ds, dy=b,ds, dr=(-a,,b),ds,
e
F(x,y)=l((a(1-s))^4,;a(1-s),b,sr) =(-a^5(1-s)^4,;a b^2 s(1-s))
Então
Fcdot dr =-a^5(1-s)^4cdot(-a);+;a b^2 s(1-s)cdot b =-a^5(1-s)^4 + a b^2,s(1-s)
Integramos de 0 a 1:
integral0^1l[-a^5(1-s)^4 + a b^2 s(1-s)r]ds =-a^5integral0^1(1-s)^4ds + a b^2integral0^1s(1-s)ds
Calculando cada parte:
integral0^1(1-s)^4ds = 15, integral0^1s(1-s)ds = 16
Logo
integralseg2Fcdot dr =-a^5cdot15 + a b^2cdot16 =-a^55 + a b^26

Passo 4

Segmento 3: de (0,b) a (0,0).
Aqui x=0 fixa e y varia, mas
F(0,y)=(0^4,,0cdot y)=(0,0),
então
integralseg3Fcdot dr = 0

Passo 5

Somando as três contribuições:
a^55 +l(-a^55 + a b^26r) +0 =a b^26

Resposta

integralCFcdot dr = a,b^26

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