Calcule a integral de linha do campo vetorial F(x, y)=(2 y+cos x) imath+(2 x y+sen y) jmath sobre a trajetória partindo da origem do plano ao longo da parábola y=x^2, x >= 0, até o ponto (1,1), em seguida ao longo da parábola y=2-x^2 até (-1,1), e então de volta à origem ao longo da curva y=x^2, x <= 0.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
ointC Fcdot dr,
onde F(x,y)=(2y+cos x),i+(2xy+sen y),j e C é a curva fechada que vai da origem até (1,1) por y=x^2, depois até (-1,1) por y=2-x^2 e retorna à origem por y=x^2 com x<=0.
O conteúdo principal é usar o Teorema de Green para converter essa integral de linha numa integral dupla sobre a região D limitada por essas parábolas.

Passo 2

Calculamos o rotacional de F, isto é
partial Qpartial x-partial Ppartial y,
onde P(x,y)=2y+cos x e Q(x,y)=2xy+sen y.
partial Qpartial x =2y, partial Ppartial y =2,
logo
partial Qpartial x-partial Ppartial y =2y-2

Passo 3

Pelo Teorema de Green temos
ointCFcdot dr =integral duplaDl(2y-2r),dA,
onde D é a região do plano limitada acima pela parábola y=2-x^2 e abaixo por y=x^2, para -1<= x<=1.

Passo 4

Montamos a integral dupla em coordenadas cartesianas:
integral duplaD(2y-2),dA =integralx=-1^1!integraly=x^2^,2-x^2(2y-2),dy,dx
Primeiro integramos em y:
integraly=x^2^2-x^2(2y-2),dy =l[y^2-2yr]y=x^2^,2-x^2

Passo 5

Calculando o valor em y=2-x^2 e subtraindo o valor em y=x^2:
(2-x^2)^2-2(2-x^2);-;l(x^4-2x^2r) =(4-4x^2+x^4-4+2x^2)-x^4+2x^2=0
Portanto o integrando em x fica zero, e
integral duplaD(2y-2),dA =integral-1^10,dx =0
Logo, pela igualdade de Green, a integral de linha fecha também em zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados