Calcule a integral de linha do campo vetorial
sobre a trajetória partindo da origem do plano ao longo da parábola
, até o ponto (1,1), em seguida ao longo da parábola
até
, e então de volta à origem ao longo da curva
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
e
é a curva fechada que vai da origem até
por
, depois até
por
e retorna à origem por
com
.
O conteúdo principal é usar o Teorema de Green para converter essa integral de linha numa integral dupla sobre a região limitada por essas parábolas.
O conteúdo principal é usar o Teorema de Green para converter essa integral de linha numa integral dupla sobre a região
Passo 2
Calculamos o rotacional de
, isto é
onde
e
.
logo
Passo 3
Pelo Teorema de Green temos
onde
é a região do plano limitada acima pela parábola
e abaixo por
, para
.
Passo 4
Montamos a integral dupla em coordenadas cartesianas:
Primeiro integramos em
:
Passo 5
Calculando o valor em
e subtraindo o valor em
:
Portanto o integrando em
fica zero, e
Logo, pela igualdade de Green, a integral de linha fecha também em zero.