Seja r in R, r>0, Cr o caminho circular do plano, percorrido no sentido anti-horário, com centro na origem e com raio r, e F(x, y)=1x^2+y^2(-y, x),(x, y) in R^2,(x, y) neq(0,0). Calcule
integralCr F cdot d r

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
integralCrFcdot d r
onde Cr é o círculo de raio r>0 centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário, e
F(x,y)=1x^2+y^2(-y,x)
O conteúdo principal é a parametrização de curvas planas e o cálculo de integrais de linha de campos vetoriais.

Passo 2

Parametrizamos Cr por
gamma(t) = l(rcos t,;rsin tr), tin[0,2pi]
Então
dgamma(t) = gamma'(t),dt = l(-rsin t,;rcos tr),dt

Passo 3

Substituímos na expressão de F:
Fl(gamma(t)r) = 1(rcos t)^2+(rsin t)^2 l(-rsin t,;rcos tr) = 1r^2l(-rsin t,;rcos tr) =l(-sin tr,;cos trr)

Passo 4

Agora o produto escalar F(gamma(t))cdot gamma'(t) é
l(-sin tr,;cos trr) cdot l(-rsin t,;rcos tr) = rsin^2tr + rcos^2tr = sin^2t+cos^2t =1

Passo 5

Finalmente,
integralCrFcdot d r = integral0^2pi1,dt =2pi

Resposta

2pi

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